氘为什么要等宇宙冷下来

本章接着中子和质子什么时候停止互相转变，从那里取用中子的数量和 $t\propto T^{-2}$ 的关系。需要的数学是指数、对数和数密度。读完后，你应当能算出给定重子密度下氘何时能存活，解释为什么氦只微弱地依赖这个密度，而氘却强烈地依赖它。

每个重子对应多少光子

用 $n_b$ 表示重子（质子和中子，自由的和束缚在核里的都算）的数密度，$n_\gamma$ 表示光子的数密度。二者之比叫重子光子比：

正负电子湮灭之后，两种密度都按尺度因子的三次方下降，所以在本章关心的那几分钟里 $\eta$ 保持不变。如果在拟合微波背景时用核合成来确定氦的含量，得到 $\eta_{10}=6.12\pm0.04$；不用这一步则是 $6.104\pm0.058$（粒子物理评述 2025 年版，式 24.8 及其后的正文）。本章取 $6.12$，即每个重子约对应 $1.63\times10^9$ 个光子。

黑体光子的数密度是

例题：瓶颈打开时宇宙有多稠密

在 $k_BT=0.07\,\mathrm{MeV}$，取 $\hbar c=1.973\times10^{-11}\,\mathrm{MeV\,cm}$，光子数密度 $n_\gamma=1.09\times10^{28}\,\mathrm{cm^{-3}}$。乘以 $\eta$ 得 $n_b=6.7\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$，重子质量密度约 $1.1\times10^{-5}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$，大约是海平面空气密度的百分之一，而温度高达八亿开尔文。最初几分钟的核反应，是在一团稀薄而极热的气体里进行的。

俘获与分解之间的平衡

氘核由 $p+n\to d+\gamma$ 形成，又被逆反应 $\gamma+d\to p+n$ 拆开。两个方向都很快时，三种粒子处在同一温度，化学势满足 $\mu_d=\mu_n+\mu_p$。由每种粒子的非相对论数密度，得到萨哈关系

其中 $g_d=3$、$g_n=g_p=2$ 是自旋状态数，$B_d=(m_n+m_p-m_d)c^2$ 是氘核结合能。由 2020 年原子质量评估（AME2020 质量表）中中子、氢一和氢二的质量过剩，得到 $B_d=2.2246\,\mathrm{MeV}$。

用每个重子对应的丰度 $Y_i=n_i/n_b$ 比用数密度方便，因为它不随膨胀改变。取 $m_d\simeq2m_N$，$m_Nc^2=939\,\mathrm{MeV}$，$m_n\simeq m_p\simeq m_N$，并代入 $n_b=\eta n_\gamma$：

两类因子在较劲。$\eta\approx6\times10^{-10}$ 和 $(k_BT/m_Nc^2)^{3/2}\approx6\times10^{-7}$ 这两个小数，说的是重子在光子中有多稀少；玻尔兹曼因子 $\exp(B_d/k_BT)$ 则随宇宙变冷而增大。只有当指数赢了，氘才会多起来。

例题：比值什么时候达到 1

令右边等于 1，取 $\eta_{10}=6.12$，用二分法求解，得到 $k_BT=0.0665\,\mathrm{MeV}$，即 $T_9=0.772$。验算：$(0.0665/939)^{3/2}=5.96\times10^{-7}$，$\exp(2.2246/0.0665)=3.37\times10^{14}$，于是

这时 $B_d/k_BT=33.5$：热能量要比结合能低三十来倍，氘核才站得住。$\eta$ 在指数外面，所以改变它几乎挪不动这个温度：

重子密度相差 7.5 倍，温度只差 6%。由于 $t\propto T^{-2}$，时间约差 12%。

要多少氘才够

氦并不等到 $Y_d/(Y_nY_p)=1$。只要每一千个重子里有几个氘核，$d+d$、$d+p$、$t+d$ 和 ${}^3\mathrm{He}+d$ 这些快反应就会几乎随生随转，把它们送进氦四。教程网络直接显示了这一点：取氦形成一半的时刻，读出氘的丰度。

在两个较高的密度下，网络温度和同一氘比值对应的平衡温度相差不到 1%：氦形成期间，氘一直跟着它的平衡值走。$\eta_{10}=2$ 时网络落后约 2.5%：物质越稀，中子俘获越慢，氘就跟不上平衡。

这张表也说明了氦为什么会依赖重子密度。物质越密，瓶颈打开得越早：一是平衡本身移动了，二是反应更快，较小的氘比值就够用。这时衰变掉的中子更少。三种密度下网络给出 $Y_p=0.2300$、$0.2424$ 和 $0.2504$：密度相差 7.5 倍，氦只差 9%。这些数值来自方法篇保存的计算，见用冻结反应网格复算小网络，并传播主要反应率误差。

物质越密，剩下的氘为什么越少

瓶颈打开后，氘一边生成，一边被消耗。中子俘获生成它；$d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$、$d(d,n){}^3\mathrm{He}$ 和 $d(d,p)t$ 消耗它，产物再被烧成氦四。一个氘核被消耗的速率正比于反应伙伴的密度，也就正比于 $\eta$。当这个速率降到膨胀率以下，消耗就停了。物质越密，燃烧持续得越久，停下时剩下的氘就越少。

网络给出的最终丰度是：

从最低到最高密度，D/H 下降了 32 倍。在我们宇宙附近，它按 $\eta^{-1.6}$ 变化；下一章会定义这个指数，并与已发表的计算比较。正是这种陡峭的依赖，让氘成了测量重子密度的“秤”。氦三下降得慢一些，因为它既是氘燃烧的产物，又是生成氦四的燃料。

Lab 任务：看瓶颈怎样移动

1. 预测。动手之前，判断“重子稀少，氘留下来”（$\eta_{10}=2$）和“重子稠密，氘被烧掉”（$\eta_{10}=15$）哪个更早形成氦，哪个最后剩下的氘更多。
2. 改变。依次选择这两个预设，打开高级分组，记录氦形成一半的时刻、$Y_p$ 和 $\mathrm{D/H}$。
3. 比较。把读数和表 3.2、表 3.3 对照。Lab 的时间步比保存的计算粗，最后一位可能略有不同。
4. 解释。用平衡关系解释时间的变化，用燃烧的论证解释氘的变化；再说明为什么这两个变化对氦影响很小，对氘影响很大。

习题

1. 有同学说，$k_BT=0.2\,\mathrm{MeV}$ 时光子能量已经比结合能低十倍，氘应该稳定了。取 $\eta_{10}=6.12$，算出这个温度下的 $Y_d/(Y_nY_p)$，回答这位同学。
2. 对萨哈比值的对数关于 $k_BT$ 求导，估算 $\eta$ 增大到 $2.45$ 倍时，比值等于 1 的温度移动多少，并与表 3.1 比较。
3. 用 $t\propto T^{-2}$ 和第 2 题的结果，从 247 秒出发估算 $\eta_{10}=15$ 时的瓶颈时刻。网络给出 219 秒，解释差别。
4. 迁移。设想氘核结合能大 10%，其余一切，包括第一章末尾的中子数量，都不变。估算瓶颈打开的温度和时刻，以及氦的变化。有些锂问题的解决方案涉及氘核结合能的变化，见读懂原初核合成对额外辐射和锂问题的证据。

平衡图像漏掉了什么

萨哈关系不管反应有多快。它告诉我们，如果俘获和分解无限快，氘会停在哪里；表 3.2 表明，只有中子俘获比膨胀快得多时，这才是好的指引。最终的氘丰度由燃烧速率决定，而燃烧速率需要实验测得的截面。教程用的是 Serpico 等人的拟合。下一章重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度说明这些不确定度怎样传到预言的丰度上。