中子和质子什么时候停止互相转变

建议先读温度和膨胀速度怎样决定今天的氦和氘，了解整体图景。本章需要的数学是指数、自然对数、比值和“每秒多少次”的速率。读完后，你应当能算出给定温度下的平衡比值，比较反应率和膨胀率，并把某一时刻的中子与质子之比换算成氦质量分数。

温度、能量和造一个中子的代价

早期宇宙的温度有两种常用写法。$T_9$ 是以 $10^9\,\mathrm K$ 为单位的温度；典型热运动能量是 $k_BT$，二者的关系是

$T_9=10$ 时热能量为 $0.862\,\mathrm{MeV}$。中子比质子重

当弱反应 $n+e^+\leftrightarrow p+\bar\nu_e$、$n+\nu_e\leftrightarrow p+e^-$ 以及中子衰变在两个方向上都进行得很快时，中子和质子处在同一个温度下。二者都是自旋二分之一的粒子，它们的数密度 $n$ 与 $p$ 之比就是一个玻尔兹曼因子：

质量前因子等于 1.002，可以略去。这里取中微子和电子的化学势为零，这是本教程的标准假设。下表显示平衡比值下降得有多快。

如果平衡一直保持下去，等到原子核能形成时几乎已经没有中子，氦也就几乎没有。一定有什么让比值不再沿着这张表往下走。

宇宙膨胀得有多快

膨胀率 $H$ 是距离增长的相对速率，单位 $\mathrm{s^{-1}}$。最初几分钟里，能量密度主要来自接近光速运动的粒子。每种粒子的贡献正比于 $T^4$，按内部状态数加权，费米子再乘以 $7/8$。弗里德曼方程给出

正负电子湮灭之前，$g_*=2+\tfrac78(4+2N_\nu)$：光子两个状态，电子和正电子共四个状态，$N_\nu$ 种中微子每种两个状态。$N_\nu=3$ 时它等于 $10.75$，与粒子物理评述 2025 年版 24.4 节给出的 $5.5+\tfrac74N_\nu$ 一致。

例题：一兆电子伏特时宇宙多大年纪

用自然单位写，同一个方程是 $H=1.66\sqrt{g_*}\,(k_BT)^2/M_{\mathrm{Pl}}$，普朗克质量 $M_{\mathrm{Pl}}c^2=1.221\times10^{19}\,\mathrm{GeV}$。在 $k_BT=1\,\mathrm{MeV}$ 时，

最后一个因子用 $\hbar$ 把能量换成速率。辐射主导时尺度因子按 $a\propto t^{1/2}$ 增长，于是 $H=\dot a/a=1/(2t)$，

教程网络到达 $k_BT=1\,\mathrm{MeV}$ 的时刻也是 0.74 秒。温度加倍，$H$ 变成四倍，所以越热的宇宙越年轻：只要 $g_*$ 不变，就有 $t\propto T^{-2}$。

转换率和膨胀率谁快

用 $\lambda_{np}$ 表示每个中子变成质子的总速率，$\lambda_{pn}$ 表示每个质子变成中子的速率。比值向平衡靠拢的速率是 $\Gamma=\lambda_{np}+\lambda_{pn}$。温度远高于 $Q$ 和电子质量时，$\Gamma$ 大致按 $T^5$ 变化，而 $H$ 按 $T^2$ 变化，所以随着宇宙变冷，二者之比大致按 $T^3$ 下降。

教程用玻恩近似计算这两个速率，也就是弱相互作用的最低阶计算，方法见 Pitrou、Coc、Uzan 和 Vangioni 的 PRIMAT 论文。速率按中子寿命 $\tau_n=878.4\,\mathrm s$ 归一化。

最后一列以自由衰变率 $1/\tau_n$ 为单位量 $\lambda_{np}$。$T_9=30$ 时，转换比衰变快十万倍；到 $T_9=1$，这一列降到 1，说明还在把中子变成质子的只剩自由衰变。这也解释了表的末尾 $\Gamma/H$ 为什么又回升：衰变率不变，$H$ 却继续下降。

$\Gamma/H$ 在 $T_9=7.71$ 处等于 1，此时 $k_BT=0.664\,\mathrm{MeV}$，$t=1.71\,\mathrm s$。按平衡算，这里应有 $n/p=0.143$，网络给出的却是 $0.269$。其实在 $T_9=10$ 时比值就已经落后了：那里 $\Gamma/H\approx2$，网络给出 $0.313$，平衡值只有 $0.223$。要追上一个不断移动的目标，每个膨胀时间里需要很多次转换，一次远远不够。所以 $\Gamma=H$ 标出的是一段渐进偏离的中点，而不是一个开关。

越过这一点之后，转换还在继续，只是慢了。网络里的比值在 12.6 秒（$T_9=3$）降到 $0.198$，32 秒（$T_9=2$）降到 $0.186$，168 秒（$T_9=1$）降到 $0.153$。这段下降的前半主要来自弱转换，后半主要来自衰变。

从比值到氦

把中子所占比例写成 $X_n=n/(n+p)=(n/p)/(1+n/p)$。氘一旦能留下来，几乎所有自由中子都会进入氦四。一个氦四核含两个中子、四个质量单位，所以氦质量分数是

这里的 $Y_p$ 按教程的约定，取每个重子对应的氦四核数乘以 4；它和真正的质量分数只差一点核结合能。

例题：从十亿开尔文衰变到瓶颈打开

从 $T_9=1$ 出发。网络在 $t=168.1\,\mathrm s$ 给出 $n/p=0.1528$，所以 $X_n=0.1326$。从这里开始，只有衰变在减少中子。网络中氦在 $t=247.3\,\mathrm s$ 形成一半，就把这一刻当作瓶颈打开的时间。于是

$Y_p\simeq2\times0.1211=0.242$，完整网络给出 $0.2424$。两者吻合，是因为到 $T_9=1$ 时剩下的唯一过程正是这个估算保留的那一个。

如果从 $T_9=3$ 开始做同样的估算，就会出错。12.6 秒时 $n/p=0.198$，只算衰变到 247.3 秒，得到 $X_n=0.1263$，$Y_p\simeq0.253$，偏高约 4%。原因在表 2.2 里：$T_9=3$ 时，中子变质子的转换仍比衰变快 $4.4$ 倍。电子和正电子俘获拿走了一些中子，而只算衰变的估算把它们留下了。

本章用到的所有数值都在配套文件里：teaching-values.json 列出时钟、转换表和冻结点；方法篇用冻结反应网格复算小网络，并传播主要反应率误差说明它们是怎样算出来的。

Lab 任务：改变中子寿命

1. 预测。中子寿命出现在两个地方：寿命越短，衰变越快；而且所有弱反应率都按 $1/\tau_n$ 归一化，所以转换也越强。判断寿命变长时 $Y_p$ 升还是降，并说说你认为哪个效应更重要。
2. 改变。打开高级控制，把寿命先设为 $860\,\mathrm s$，再设为 $900\,\mathrm s$，记录 $Y_p$ 和温度为 $10^9\,\mathrm K$ 时的中子与质子之比。
3. 比较。保存的计算结果是 $Y_p=0.2386$ 和 $0.2468$，$T_9=1$ 时的 $n/p$ 是 $0.1504$ 和 $0.1556$。Lab 的时间步更粗，最后一位可能不同。
4. 解释。寿命变长，氦增加。$T_9=1$ 时的比值变化约 3.5%，最终氦变化约 3.4%，可见大部分变化在十亿开尔文时就已经定下了。这说明起主要作用的是冻结期间的转换强度，而不是最后一分钟的衰变。

习题

1. 计算 $k_BT=1\,\mathrm{MeV}$ 时的平衡比值。既然造中子要花能量，为什么比值不是零？
2. 假设 $\Gamma\propto T^5$、$H\propto T^2$。从 $T_9=10$ 处的 $\Gamma/H=1.99$ 出发，预测 $\Gamma/H=1$ 的位置，与表 2.2 比较并解释差别。
3. 把只算衰变的估算改从 $T_9=2$ 开始，结果是否更接近网络？为什么？
4. 两个实验测得的中子寿命相差十秒。用 Lab 任务里的数字估算 $Y_p$ 会差多少，并与 2025 年评述给出的观测不确定度 0.003 比较。
5. 迁移。设想一个宇宙，$Q$ 是 $1.0\,\mathrm{MeV}$ 而不是 $1.293\,\mathrm{MeV}$，冻结温度仍是 $0.66\,\mathrm{MeV}$。预测氦会往哪个方向变，并指出真正的计算还必须改动什么。

简单图像在哪里失效

教程让中微子瞬间脱离等离子体，所以用的是 $N_{\mathrm{eff}}=3$，而不是渐进脱耦给出的 $3.044$；弱反应率也只算到玻恩近似。PRIMAT 论文的表 V 列出了这些被略去的部分值多少：只用玻恩速率，PRIMAT 得到 $Y_p=0.24262$；辐射修正增加 $0.0032$，有限核子质量和弱磁矩再增加 $0.0013$；中微子不完全脱耦、有限温度辐射修正和等离子体效应加在一起改变不到 $0.0001$，最终为 $0.24709$。教程网络与玻恩那一行相差 $0.02\%$。因此它的 $0.242$ 本来就应比 Fields、Olive、Yeh 和 Young 给出的微波背景加核合成预测 $0.247$ 低约 $0.005$。这些都不改变本章讲的机制。下一章氘为什么要等宇宙冷下来解释中子为什么要等到约 247 秒。