宇宙怎样变透明：复合、可见度与频谱畸变

背景光几乎是黑体，微小偏离还能留下哪些历史？ 宇宙背景光几乎是完美黑体，但额外的热会留下记号。红移约两百万以前释放的热，会被抹平成稍热一点的黑体；更晚的热会在频谱里留下化学势型或康普顿型畸变；在复合前后释放的能量，还会推迟宇宙变透明的时刻。

沿着宇宙历史拖动一次热量释放，看它变成更热的黑体、一种频谱畸变，或者推迟宇宙变透明的时刻。

化学势畸变

\mu

$4.19\times10^{-5}$

康普顿畸变

y

$3.43\times10^{-7}$

最后散射峰值所在红移 $1081$

红移

z=200

处每个氢的自由电子 $3.39\times10^{-4}$

释放一次热量

热量释放的时刻

z_h=2\times10^{5}

\log_{10}(1+z_h)

释放多少能量

\Delta\rho/\rho_\gamma=3\times10^{-5}

\log_{10}(\Delta\rho/\rho_\gamma)

在时间轴上拖动发光的释放：左右改时间，上下改能量。

这次释放的更多数字

温度改变（并入测得的温度） $\Delta T/T$: $2.63\times10^{-8}$
光深达到一的红移 $\tau=1$: $1092$
可见度峰的宽度 $\Delta z_{\rm FWHM}$: $203$
交给光子的能量份额 $Q_\gamma/Q$: $100\,\%$
用于电离和激发的份额 $Q_{\rm ion}/Q$: $0\,\%$

没有释放时，本模型在红移1092达到单位光深；Planck 2018给出 $z_*=1089.92\pm0.25$ 。冻结的HyRec-2文件在红移1500以下与只含氢的曲线最多相差3.9%。

课程：宇宙怎样变透明

用保存的脚本重算这些数字

模型假设

这是离线教学模型，不是对观测数据的拟合。背景为平直宇宙，含物质、宇宙学常数、光子和无质量中微子，参数与CLASS 3.3.4版附带的HyRec-2输入文件相同。这里只跟踪氢：氦的复合以及氦提供的电子都没有计入。氢在红移1800处从萨哈平衡出发，之后按等效三能级原子演化，采用RECFAST修正因子1.14（Seager、Sasselov与Scott，1999），并令气体温度等于辐射温度。能量释放在“一加红移”的对数上呈高斯分布，宽度0.15；它的大小是释放总能量占光子能量密度的比例。能量就地沉积，电离、激发与加热之间的分配采用Chen与Kamionkowski（2004）的比例。热量通过Chluba（2013）的平滑分配近似变成温度改变、化学势畸变或康普顿畸变，热化红移采用CLASS中的标度。在红移一万到十万之间，把完整格林函数投影到COBE/FIRAS频段的结果与这一近似最多可差一倍。红移约两百以下，气体已不能有效地把热交给光子，所以释放位置不能晚于红移300。残余谱只画重新拟合温度之后剩下的畸变；前景、复合谱线、小尺度声波阻尼与非线性效应都没有计入。金色点取自CLASS 3.3.4版附带的冻结HyRec-2输出文件的抽样，含氦；Sandbox Physics没有运行CLASS或HyRec。COBE/FIRAS的95%上限来自Fixsen等人（1996）。舞台上的光子路径、散射折线和两段式时间轴刻度都是示意。

气体和光记下了什么

离线模型；金色点取自冻结的HyRec-2文件

每个氢的自由电子数 $x_e$

萨哈三能级，无释放加入这次释放HyRec-2文件，含氦

光最后在哪里散射 $g(z)$

无释放加入这次释放

重新拟合温度后剩下的频谱 $\Delta I_\nu=I_0(\mu M+yY)$

化学势形状康普顿形状点线：COBE/FIRAS 95%上限

一句话直觉: 很早的热会被完全热化，只让温度升高一点。红移约两百万到五万之间的热留下化学势畸变；更晚的热留下康普顿畸变。复合前后的热主要改变电离历史，于是最后散射面跟着移动。

核心数学模型

萨哈平衡

\frac{x_e^2}{1-x_e}=\frac{1}{n_{\rm H}}\left(\frac{2\pi m_e k_BT}{h^2}\right)^{3/2}e^{-E_I/k_BT}

只有电离和复合都足够快时才成立。它把复合预言得太早，因为真实的原子会卡在激发态。

等效三能级原子里的瓶颈

-\frac{dx_e}{dt}=C\left[\alpha_B n_{\rm H}x_e^2-\beta_B(1-x_e)e^{-h\nu_\alpha/k_BT}\right],\quad C=\frac{1+K\Lambda_{2s}n_{1s}}{1+K(\Lambda_{2s}+\beta_B)n_{1s}}

处在第二能级的原子以一定概率（逃逸因子）回到基态：靠双光子衰变，或靠莱曼阿尔法光子红移出谱线。否则它会再次被电离。

最后散射的可见度

g(z)=e^{-\tau}\frac{d\tau}{dz},\qquad \frac{d\tau}{dz}=\frac{c\,\sigma_T n_e}{(1+z)H}

今天看到的光子在某个红移最后一次散射的概率密度。只要起点的光深足够大，曲线下面积就是一。

热量去了哪里

\mu\approx1.401\int J_\mu J_{\rm bb}\,\frac{d(Q/\rho_\gamma)}{dz}\,dz,\qquad y\approx\frac14\int J_y\,\frac{d(Q/\rho_\gamma)}{dz}\,dz

一种平滑近似（Chluba，2013）。黑体可见度去掉很早的热，两条分配函数再把剩下的热分给化学势形状和康普顿形状。

常见难点

萨哈不是实际历史

容易误解萨哈说一半原子中性时，氢就复合完了。

正确理解到红移1100，萨哈给出的电离度已低于百分之一，三能级原子在那里仍有约百分之十四。瓶颈让电子多自由了一段时间。

温度改变本身看不出来

容易误解很早释放的热应该最容易看到。

正确理解完全热化的热只造出一个温度略有不同的黑体。今天我们只测到一个温度，无法把这部分改变单独分出来。

分配函数是近似

容易误解平滑分配函数给出实验看到的精确畸变。

正确理解在红移一万到十万之间，形状既不是纯化学势型也不是纯康普顿型。把格林函数投影到真实频段，结果最多可差一倍。

动手实验

01
先看化学势畸变
保持默认释放，看残余谱。
你会看到： 光子来得及分配能量，却来不及造出新光子。残余谱在低频为负，约125吉赫以上转为正。
02
把释放往早拖
把发光标记拖到“黑体恢复”边界的左边。
你会看到： 畸变变小，光子变白：热被抹平成稍热一点的黑体。
03
移到康普顿时期
选“热电子把光子推高”。
你会看到： 残余谱换了形状，零点移到约218吉赫。比光子更热的电子把光子推向高频。
04
推迟最后散射
依次选“推迟的最后散射”和“黑暗时代的电离余辉”。
你会看到： 复合附近一次很小的释放就让可见度峰移向更低红移。更晚的释放在红移200留下更多自由电子，频谱却几乎不变。

宇宙怎样变透明：复合、可见度与频谱畸变

气体和光记下了什么

每个氢的自由电子数 $x_e$

光最后在哪里散射 $g(z)$

重新拟合温度后剩下的频谱 $\Delta I_\nu=I_0(\mu M+yY)$

跟着一次热量释放走过宇宙历史

核心数学模型

萨哈平衡

等效三能级原子里的瓶颈

最后散射的可见度

热量去了哪里

常见难点

萨哈不是实际历史

温度改变本身看不出来

分配函数是近似

动手实验

先看化学势畸变

把释放往早拖

移到康普顿时期

推迟最后散射

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从黑体走到隐藏能量的上限

气体和光记下了什么

每个氢的自由电子数 xex_exe​

光最后在哪里散射 g(z)g(z)g(z)

重新拟合温度后剩下的频谱 ΔIν=I0(μM+yY)\Delta I_\nu=I_0(\mu M+yY)ΔIν​=I0​(μM+yY)

核心数学模型

萨哈平衡

等效三能级原子里的瓶颈

最后散射的可见度

热量去了哪里

常见难点

萨哈不是实际历史

温度改变本身看不出来

分配函数是近似

动手实验

先看化学势畸变

把释放往早拖

移到康普顿时期

推迟最后散射

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光最后在哪里散射 $g(z)$

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