萨哈平衡与复合瓶颈

本章接在背景光几乎是黑体，微小偏离还能留下哪些历史？之后。你需要会用指数、对数，以及以“每立方米粒子数”计的数密度。目标有三个：推导萨哈平衡，在一个红移上把它解出来，再看清原子形成的哪一步慢，以及三能级氢原子模型怎样描述这一步。

物理量、单位和略去的东西

用红移 $z$ 标记时期。光子温度是 $T=T_0(1+z)$，其中 $T_0=2.7255\,\mathrm K$；氢核数密度是 $n_{\mathrm H}=n_{\mathrm H,0}(1+z)^3$，其中 $n_{\mathrm H,0}=0.190\,\mathrm{m^{-3}}$。这些背景数值存放在模型输入文件里，取自CLASS v3.3.4附带的HyRec输入文件。

自由电子比例记作 $x=n_{\mathrm e}/n_{\mathrm H}$。这里只考虑氢。氦在红移3500到1600之间完成复合，红移1600以下几乎不再贡献自由电子，但它的质量仍然算在内。Lucca等，2020，第2.4.3节 基态结合能是 $I=13.6\,\mathrm{eV}$，$k_{\mathrm B}T$ 是典型的热运动能量。模型还假定物质温度始终等于光子温度。这在复合期间很准，到了黑暗时代后期就不成立了：那时气体比光冷得快，所以红移200附近的数值带着这份误差。

推导萨哈平衡

设想一个盒子，里面的反应 $\mathrm p+\mathrm e\rightleftharpoons\mathrm H+\gamma$ 正反两个方向都进行得飞快，最后稳定下来。统计物理给每种粒子指定一个化学势，意思是在温度不变时再加进一个粒子要付出的能量代价。光子可以随意产生和消失，它的化学势为零。反应稳定以后，两边的代价相等：

对于稀薄的非相对论气体，内部状态数为 $g_i$、质量为 $m_i$ 的粒子，数密度是

构造比值 $n_{\mathrm p}n_{\mathrm e}/n_{\mathrm H}$。由上面的平衡条件，化学势互相抵消。原子比质子加电子轻 $I/c^2$，静能于是留下因子 $\mathrm e^{-I/k_{\mathrm B}T}$。状态数给出 $g_{\mathrm p}g_{\mathrm e}/g_{\mathrm H}=2\times2/4=1$，而 $m_{\mathrm p}\simeq m_{\mathrm H}$，最后只剩电子质量。代入 $n_{\mathrm e}=n_{\mathrm p}=xn_{\mathrm H}$ 和 $n_{\mathrm{HI}}=(1-x)n_{\mathrm H}$，得到

这是 $x$ 的二次方程，在0和1之间只有一个根：

推导用了两条假设：每个原子都处在基态；原子的形成和拆散比宇宙膨胀快得多。出问题的是第二条。

例题：复合一半的时刻

取 $z=1370$。这时 $T=3737\,\mathrm K$，$k_{\mathrm B}T=0.322\,\mathrm{eV}$，所以 $I/k_{\mathrm B}T=42.3$，$\mathrm e^{-42.3}=4.46\times10^{-19}$。括号的二分之三次方是 $5.52\times10^{26}\,\mathrm{m^{-3}}$，而 $n_{\mathrm H}=4.90\times10^{8}\,\mathrm{m^{-3}}$。合起来 $S=0.503$，解得 $x=0.501$。

指数因子小得惊人，却被括号与氢密度之比抵消了，这个比值约为 $10^{18}$。比值这么大，是因为气体太稀薄。电离只需要一个光子撞上原子，复合却要电子碰上质子，稀薄的气体自然偏向电离。

有一种流行的估算说：当每个原子分到的电离光子少于一个时，原子就开始形成。可在 $z=1370$，能量高于 $13.6\,\mathrm{eV}$ 的光子每个氢核只分到约 $7.5\times10^{-7}$ 个，远少于一个，平衡却才走到一半。决定平衡的是速率之比，光数光子个数，量级会差得很远。

最后一步为什么慢

电子直接落进基态时，会放出一个能量高于 $13.6\,\mathrm{eV}$ 的光子。这个光子遇到下一个原子就把它电离，一来一回什么也没改变。只有俘获到激发态的过程才算数，它们的总系数叫B情形复合系数 $\alpha_{\mathrm B}$。被俘获的电子随后一级级跌落到第二能级 $n=2$。

原子从 $n=2$ 回到基态，两条路都很慢。$2\mathrm p\to1\mathrm s$ 放出的莱曼 $\alpha$ 光子会被下一个基态原子吸收，只有等空间膨胀把它红移出谱线才能逃掉。$2\mathrm s$ 能级可以一次放出两个光子跃迁到基态，速率是 $\Lambda_{2\mathrm s}=8.22\,\mathrm{s^{-1}}$。与此同时，能量 $3.4\,\mathrm{eV}$ 的普通光子正以速率 $\beta_{\mathrm B}$ 把 $n=2$ 的原子电离。

设 $C$ 为 $n=2$ 的原子在被电离之前回到基态的概率。取 $s=\ln(1+z)$，等效三能级原子给出

$H$ 是以 $\mathrm{s^{-1}}$ 计的膨胀率，$n_{1\mathrm s}=(1-x)n_{\mathrm H}$，$E_\alpha=10.2\,\mathrm{eV}$，$\lambda_\alpha=121.6\,\mathrm{nm}$。方括号里第一项数的是俘获，第二项数的是从 $n=2$ 发生的电离；$n=2$ 上的原子数通过玻尔兹曼因子跟着基态走。符号要看仔细：红移降低时 $s$ 变小，速率为正就意味着随宇宙变老 $x$ 在减小。系数 $\alpha_{\mathrm B}$ 采用Seager、Sasselov和Scott（1999）给出的拟合公式和因子 $F=1.14$；调这个 $F$，是为了让这个简单原子跟上他们的多能级计算。

例题：红移1100处的瓶颈

在 $z=1100$，解出的历史给出 $x=0.142$。膨胀率 $H=5.13\times10^{-14}\,\mathrm{s^{-1}}$，所以 $K=1.39\times10^{-9}\,\mathrm{m^3\,s}$。再代入 $n_{1\mathrm s}=2.18\times10^{8}\,\mathrm{m^{-3}}$ 和 $\beta_{\mathrm B}=586\,\mathrm{s^{-1}}$：

到达 $n=2$ 的原子，每一百个里不到两个能继续落到基态。$1/(Kn_{1\mathrm s})=3.3\,\mathrm{s^{-1}}$ 相当于莱曼 $\alpha$ 光子的等效逃逸速率，所以在这个时期，速率为 $8.22\,\mathrm{s^{-1}}$ 的双光子衰变送下去的原子比红移逃逸更多。

在这些红移上，三能级原子与冻结的HyRec-2输出相差不到4%，萨哈平衡到红移1100时却低了30倍。HyRec-2的原子物理要完整得多；这里只读取了它的输出文件，没有运行它。对照过程和误差见对照萨哈、三能级原子与冻结的CLASS参考输出。

实验室任务

打开复合实验室。电离图里，萨哈平衡是灰色虚线，三能级原子是青色实线，金色圆点来自HyRec-2文件，它把氦的电子也算在内。

1. 先预测两条曲线在哪里分开，再去核对：红移1500以上两者重合，1500到1400之间分开。
2. 选择“黑暗时代的电离余辉”预设。看结果之前，先预测红移200处的自由电子比例会升高还是降低。模型给出 $1.10\times10^{-3}$，没有额外能量时是 $3.39\times10^{-4}$。
3. 用瓶颈来解释：为什么复合之后一小份能量就能让 $x$ 成倍变化，而萨哈平衡对此毫无反应。

练习

1. 当 $S\gg1$ 时，证明 $1-x\simeq1/S$。在 $S=8032$ 的 $z=1800$ 处检验。
2. 证明 $S=1/2$ 时恰好 $x=1/2$。
3. 温度历史不变，把重子密度加倍。萨哈平衡的一半点会移向更高还是更低的红移？大约移动多少？
4. 在 $z=1000$，模型给出 $C=0.075$。这个数对一个处在第二能级的原子意味着什么？它为什么比 $z=1100$ 时大？