热化、化学势畸变与康普顿畸变

请先读光学深度与可见度函数。本章要用到导数、分部积分和级数。目标是：从黑体谱的小改变推出三种形状，算出每种形状带走多少能量和多少光子，再把一次能量释放换算成实验室里显示的振幅。

占据数与温度形状

用 $x=h\nu/k_{\mathrm B}T$ 量度频率，$T$ 是同一时刻的光子温度。膨胀让 $\nu$ 和 $T$ 一起下降，所以同一个光子的 $x$ 不变。每个量子态上的光子数叫占据数 $n(x)$，黑体谱的占据数是

今天的强度是 $I_\nu=I_0x^3n$。取 $T_0=2.7255\,\mathrm K$，$I_0=2(k_{\mathrm B}T_0)^3/(hc)^2=2.70\times10^{5}\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$。一千央斯基每球面度等于 $10^{-23}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$；今天 $x=1$ 对应 $56.8\,\mathrm{GHz}$。

温度稍高一点、为 $T(1+\Theta)$ 的黑体，占据数是 $n_{\mathrm{pl}}(x/(1+\Theta))$。保留到 $\Theta$ 的一阶，改变量是 $-\Theta x\,\mathrm dn_{\mathrm{pl}}/\mathrm dx$，于是

热电子留下的康普顿形状

电子比光子热得多时，散射会让光子的能量平均往上提一点，光子数却不变。黑体谱只受到少量这种散射时，康帕涅茨方程化为

无量纲的 $y$ 是以电子静能为单位的电子温度乘以散射速率，再对时间累加。把导数算出来，得到 $\Delta I_\nu=I_0\,y\,Y(x)$，其中

$Y$ 在 $x=3.830$ 以下为负、以上为正，所以频谱在 $217.5\,\mathrm{GHz}$ 以下变暗、以上变亮。保存的核函数检验对普朗克函数做有限差分，计算康帕涅茨算符中的括号，结果与这个闭合式相差不到峰值的 $1.7\times10^{-7}$。

化学势形状

光子能充分交换能量、个数却不能变时，它们会落到玻色–爱因斯坦分布 $n=1/(\mathrm e^{x+\mu}-1)$ 上。化学势 $\mu$ 衡量光子缺了多少。保留到一阶，

单是这一项就会改变光子数。真实的频谱多了能量，光子数却和原来一样，所以温度也略有升高。选取 $\Theta$ 让总光子数的改变为零。利用 $\int x^n/(\mathrm e^x-1)\,\mathrm dx$ 这类积分，得到 $\Theta=\mu/\beta$，其中 $\beta=3\zeta(3)/\zeta(2)=2.1923$，$\zeta$ 是黎曼 $\zeta$ 函数。结果是

$M$ 在 $x=\beta$ 处变号，对应 $124.5\,\mathrm{GHz}$。核函数检验还对完整的玻色–爱因斯坦分布做数值微扰，温度由光子数守恒确定，结果与 $M$ 相差不到峰值的 $6.6\times10^{-5}$。

每种形状带走多少能量

光子数正比于 $\int x^2n\,\mathrm dx$，能量正比于 $\int x^3n\,\mathrm dx$。把改变量的这两个矩分别除以黑体谱的同名矩。下表是核函数检验里用辛普森法则算出的值。

于是温度移动对应 $\Delta\rho/\rho_\gamma=4\Theta$，康普顿形状对应 $4y$，化学势形状对应 $0.714\mu$。把最后一个倒过来，得到 $\mu=1.4007\,\Delta\rho/\rho_\gamma$，正是文献里常用的系数 $1.401$，这里是从形状本身算出来的，而不是事先假定的。Chluba，2013，第2节 $Y$ 和 $M$ 的光子数一栏本应为零，剩下的是积分误差。

每种形状何时形成

三个过程在竞争：双康普顿散射和轫致辐射产生光子，主要在低频；康普顿散射在频率之间搬运光子；膨胀决定留给它们的时间。早期三者都跟得上，黑体谱得以恢复。在红移 $z$ 释放的畸变能留存下来的比例是

对这个背景宇宙，$z_{\mathrm{th}}=1.97\times10^{6}$，用的是CLASS v3.3.4里写下的标度关系。CLASS v3.3.4源码 模型再用Chluba对完整计算做的最小二乘拟合来分配留存下来的能量，$\mathcal J_\mu=1-\exp[-((1+z)/5.8\times10^{4})^{1.88}]$，$\mathcal J_y=[1+((1+z)/6\times10^{4})^{2.58}]^{-1}$：

剩下的 $1-\mathcal J$ 变成温度移动，$\Theta=\frac14\int(1-\mathcal J)\,\mathrm d(\Delta\rho/\rho_\gamma)$。Chluba说这种拆分的精度约为10%到30%。Chluba，2013，式5和式6 还有一处要留意。论文说这个近似里的能量不超过释放的能量，至多16%落进残余项；可按印出的拟合式，$\mathcal J_\mu+\mathcal J_y$ 在 $z=5\times10^{4}$ 附近达到 $1.15$。这一点我们还没有弄清。实验室用的是印出的拟合式，所以在这个红移附近，它的 $\mu$ 和 $y$ 合起来可能把畸变能量高估多达15%。方法教程对照萨哈、三能级原子与冻结的CLASS参考输出把它们与CLASS附带的格林函数做了对比。

例题：红移二十万处的一次释放

在 $z=2\times10^{5}$ 附近释放 $\Delta\rho/\rho_\gamma=3\times10^{-5}$，在这个背景下约为宇宙诞生后19年。那里 $\mathcal J=0.9967$，$\mathcal J_\mu=1.0000$，$\mathcal J_y=0.043$。如果释放是瞬时的，

模型把释放在 $\ln(1+z)$ 上铺开 $0.15$ 的宽度，给出 $\mu=4.19\times10^{-5}$、$y=3.43\times10^{-7}$。强度改变是 $I_0\mu M$：在 $60\,\mathrm{GHz}$ 为 $-5.6\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$，在 $300\,\mathrm{GHz}$ 为 $+12.1\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$，而背景本身约为 $2\times10^{5}\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$。这个 $\mu$ 低于FIRAS的95%上限 $9\times10^{-5}$。Fixsen等，1996，摘要

实验室任务

打开复合实验室。频谱图显示的是重新拟合温度以后剩下的残差。

1. 从“玻色–爱因斯坦畸变”预设出发，把释放时刻往更早拖。先预测残差在哪个红移降到一半高度，再与练习4核对。
2. 把释放拖到红移15000。看零点怎样从 $124.5$ 移向 $217.5\,\mathrm{GHz}$，并解释原因。
3. 在红移50000处，从读数栏读出 $\mu$ 和 $y$，用表4.1把两者都换回能量。它们加起来会超过释放量吗？用上一节的内容解释。

练习

1. 用分部积分证明 $\int x^3\,\Theta x(-\mathrm dn_{\mathrm{pl}}/\mathrm dx)\,\mathrm dx=4\Theta\int x^3n_{\mathrm{pl}}\,\mathrm dx$。
2. 利用康帕涅茨形式的 $\Delta n$，证明康普顿形状保持光子数不变，并增加黑体能量的 $4y$ 倍。
3. 证明 $M$ 在 $x=\beta$ 处为零，并换算成今天的频率。
4. $\mathcal J$ 在什么红移降到一半？