光学深度与可见度函数

请先读萨哈平衡与复合瓶颈。你需要自由电子比例 $x(z)$ 、指数函数，以及把积分理解为许多小步的求和。目标是：从散射速率构造光学深度，把它变成概率，再检验一次能量释放会怎样改变它。

光子撞上自由电子

在这些能量下，光子被自由电子散射的截面是汤姆孙截面 $\sigma_{\mathrm T}=6.65\times10^{-29}\,\mathrm{m^2}$ ，与频率无关。中性氢在这些光子能量下的散射弱得多，所以只算自由电子。一个光子撞上电子的速率是

\Gamma=c\,\sigma_{\mathrm T}\,n_{\mathrm e},\qquad n_{\mathrm e}=x\,n_{\mathrm H}.

在 $z=1100$ ， $x=0.142$ ， $n_{\mathrm H}=2.54\times10^{8}\,\mathrm{m^{-3}}$ ，电子密度是 $3.61\times10^{7}\,\mathrm{m^{-3}}$ ，于是 $\Gamma=7.20\times10^{-13}\,\mathrm{s^{-1}}$ 。那时的膨胀率是 $H=5.13\times10^{-14}\,\mathrm{s^{-1}}$ 。比值 $\Gamma/H=14.0$ 表示宇宙每胀大 $\mathrm e$ 倍，光子要散射14次。换个说法：平均自由程 $c/\Gamma$ 约为13500秒差距，而光在一个膨胀时间里走过的距离 $c/H$ 约为190000秒差距。

把光学深度加起来

跟着一个光子从红移 $z$ 一路走到今天。在 $s=\ln(1+z)$ 上走一小步 $\mathrm ds$ ，它花的时间是 $\mathrm ds/H$ ，这一步里预期的散射次数就是 $\Gamma\,\mathrm ds/H$ 。全部加起来就是光学深度：

\tau(z)=\int_0^{\ln(1+z)}\frac{c\,\sigma_{\mathrm T}\,n_{\mathrm e}}{H}\,\mathrm ds'.

各次散射彼此独立时，整趟旅程一次都不散射的概率是 $\mathrm e^{-\tau}$ ，和放射性核“存活”的规律一样。模型在 $z=1100$ 给出 $\tau=1.10$ ，那时出发的光子只有三分之一能不被散射地到达；到了 $z=1300$ ， $\tau=7.3$ ，几乎一个也到不了。

模型在红移50以下把自由电子比例固定在最后求得的值，并且没有包括第一代恒星造成的再电离。普朗克测得这部分晚期贡献是 $\tau=0.054\pm0.007$ 。Planck合作组，2018，摘要它让再电离之前所有红移的 $\mathrm e^{-\tau}$ 都乘上同一个因子，所以只改变下面结果的归一化，不改变峰的位置。

可见度函数

最后一次散射落在 $z$ 到 $z+\mathrm dz$ 之间的概率，等于在这一段里散射的概率，乘以此后一路不再散射的概率：

g(z)=\mathrm e^{-\tau(z)}\frac{\mathrm d\tau}{\mathrm dz}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\mathrm e^{-\tau(z)}.

第二种写法让我们不用任何新物理就能做两项检验。第一，两个红移之间的积分就是两个存活概率之差：

\int_{z_1}^{z_2}g\,\mathrm dz=\mathrm e^{-\tau(z_1)}-\mathrm e^{-\tau(z_2)}.

从 $z=50$ 到 $1800$ ， $\tau$ 从 $1.93\times10^{-4}$ 增长到 $53.6$ ，这个式子预言积分为 $0.999807$ ；对表格里的 $g$ 做梯形求和，得到 $0.999804$ 。第二，令 $\mathrm dg/\mathrm dz=0$ ，得到峰值条件 $\mathrm d^2\tau/\mathrm dz^2=(\mathrm d\tau/\mathrm dz)^2$ 。峰值因此不一定在 $\tau=1$ 处。这个模型里峰值在 $z=1081$ ，那里 $\tau=0.88$ ； $\tau=1$ 则落在 $z=1092$ 。

**Table 3.1** 取自保存的复合计算输出的可见度概况。
复合历史	峰值红移	光学深度达到1的红移	半高全宽
三能级原子	$1081.0$	$1092.0$	$203$
HyRec-2文件，红移1600以下	$1080$	$1089.8$	$204$
“推迟的最后散射”预设	$1037.0$	$1051.9$	$223$

普朗克给出 $z_\ast=1089.92\pm0.25$ 。Planck合作组，2018，表2 我们没有在那篇论文里核实它的 $z_\ast$ 恰好按“光学深度等于1”定义，所以与HyRec-2一行的吻合只能算量级检验，不算精密检验。三能级原子比它高两个单位。

复合期间释放的能量

现在加入能量，总量是光子能量的 $\Delta\rho/\rho_\gamma$ 。在 $z=1100$ ，光子平均每个氢核携带 $1.51\times10^{9}\,\mathrm{eV}$ ，所以哪怕 $\Delta\rho/\rho_\gamma=5\times10^{-9}$ ，也相当于每个氢核 $7.6\,\mathrm{eV}$ ，与维系一个原子的能量相当。

Chen和Kamionkowski把沉积的能量分成电离、激发和加热三份，比例分别是 $(1-x)/3$ 、 $(1-x)/3$ 和 $(1+2x)/3$ 。Chen和Kamionkowski，2004，式14 电离那份每 $13.6\,\mathrm{eV}$ 释放一个电子；激发那份每 $10.2\,\mathrm{eV}$ 把一个原子抬到 $n=2$ ，这个原子随后以概率 $1-C$ 被电离。 $z=1100$ 时 $C=0.019$ ，几乎每次激发最后都变成一次电离。假如这 $7.6\,\mathrm{eV}$ 全在 $x=0.142$ 时到达，每个氢核会得到约 $0.16$ 次直接电离和 $0.21$ 次经激发的电离。大部分电子会再复合，但净的自由电子比例保持在更高的水平。

他们式21里莱曼 $\alpha$ 一项印成因子 $C-1$ ，按式15照原样读，它会降低电离度。上面的概率论证给出的是 $1-C$ ，模型用的就是它。推导写在材料说明里。

“推迟的最后散射”预设在红移1100附近释放 $\Delta\rho/\rho_\gamma=5\times10^{-9}$ 。表3.1列出结果：峰值从1081移到1037，宽度增加20。频谱几乎不变， $y$ 只有 $6.4\times10^{-10}$ 。这类能量释放因此要靠微波天空的图像来检验。

实验室任务

打开复合实验室。舞台上的雾显示当地的散射速率，竖线标出可见度峰值。

振幅不变，把释放时刻从红移1100拖到1500。先预测峰值往哪边移，再去核对，并用红移1500时的自由电子比例解释结果。
在“推迟的最后散射”预设下，把振幅调大十倍。峰值会多移十倍吗？用复合项里的 $x^2$ 解释你看到的现象。
对比青色和绿色两条可见度曲线。高红移一侧和低红移一侧，哪边变化更大？为什么？

练习

证明当高红移处 $\tau$ 无限增长时， $\int_0^\infty g\,\mathrm dz=1$ 。
推导峰值条件 $\mathrm d^2\tau/\mathrm dz^2=(\mathrm d\tau/\mathrm dz)^2$ 。
模型在 $z=1000$ 给出 $x=0.0472$ 。用 $H\propto(1+z)^{3/2}$ 从 $z=1100$ 粗略外推，估计那里的 $\Gamma/H$ 。
再电离让红移十以外每个光子的光学深度增加 $0.054$ 。它让红移1081附近 $g$ 的高度降低多少？

答案

由 $g$ 的第二种写法，积分等于 $\mathrm e^{-\tau(0)}-\lim\mathrm e^{-\tau}=1-0=1$ 。我们收到的每个光子，都在某处有过最后一次散射。
对 $g=\mathrm e^{-\tau}\tau'$ 求导，得 $\mathrm e^{-\tau}(\tau''-\tau'^2)$ ，撇号表示对 $z$ 求导。令它为零即得条件。
$n_{\mathrm H}$ 按 $(1+z)^3$ 变化，所以 $\Gamma/H$ 按 $x(1+z)^{3/2}$ 变化。从 $z=1100$ 出发： $14.0\times(0.0472/0.142)\times(1001/1101)^{3/2}\simeq4.0$ 。模型给出 $4.08$ ；小小的差别来自辐射，它让 $H$ 比这个标度下降得稍快。
降低为原来的 $\mathrm e^{-0.054}\simeq0.947$ 倍，约百分之五，形状不变。