读懂Lucca等人给出的衰变暗物质上限

打开arXiv:1910.04619v3，日期为2020年2月5日，正式发表于JCAP 02 (2020) 026，题为The synergy between CMB spectral distortions and anisotropies，作者是Matteo Lucca、Nils Schöneberg、Deanna C. Hooper、Julien Lesgourgues和Jens Chluba。下面用arXiv版的页码：式2.60在第24页，第3.3节在第32到33页，第4.3节和图8在第37到38页，第2.4.3节在第17到18页。读完以后，你能看懂图的坐标轴和阴影区，分清每块区域依赖什么假设，并把结果和实验室里的能量释放联系起来。

限制的是什么：式2.60

第24页把衰变造成的加热率写成

$\rho_{\mathrm{cdm}}$ 是冷暗物质密度，$f_{\mathrm{frac}}$ 是其中会衰变的比例，$\Gamma_{\mathrm{dec}}=1/\tau_{\mathrm{dec}}$ 是衰变率，$f_{\mathrm{eff}}$ 是衰变能量沉积到等离子体里的比例。第4.3节取 $f_{\mathrm{eff}}=1$：衰变产物全部参与电磁相互作用，并且就地沉积能量。能量释放在 $t\simeq\tau_{\mathrm{dec}}$ 附近最强，之后按指数衰减。

和实验室怎么对应：实验室释放的是一次在 $\ln(1+z)$ 上呈高斯形状的爆发，而不是指数衰变；滑块上的振幅是总的 $\Delta\rho/\rho_\gamma$，不是 $f_{\mathrm{frac}}$。要把图8上的一点换成实验室设置，得把式2.60对时间积分，这里不做这一换算。能直接搬过来的是时间。在实验室的教学背景下，红移 $2\times10^{5}$ 时宇宙19岁，即 $5.9\times10^{8}\,\mathrm s$；红移 $1.5\times10^{4}$ 时是 $9.9\times10^{10}\,\mathrm s$；光被释放的红移1090时是 $1.2\times10^{13}\,\mathrm s$。

图8：坐标轴与阴影区

横轴是寿命 $\tau_{\mathrm{dec}}$，单位秒，从 $10^{6}$ 到 $10^{30}$；纵轴是 $f_{\mathrm{frac}}$，从 $10^{-13}$ 到 $10^{-1}$。两轴都是对数刻度。阴影区在95%置信度下被排除，第38页的正文把它定义为 $\chi^2>\chi^2_{\mathrm{min}}+4$。

阴影区有三种组合：蓝色是普朗克加FIRAS，另有普朗克加类似PIXIE的任务，以及LiteBIRD加CMB-S4加类似PRISM的任务。黑线重画了Poulin、Lesgourgues和Serpico更早给出的上限，标作P17，点线是频谱畸变，点划线是各向异性。红色虚线标作K05，是Kawasaki、Kohri和Moroi由大爆炸核合成给出的上限，核合成指宇宙最初几分钟里轻元素的生成。另一条核合成曲线标作P17。

常见误读：把这张图当作探测结果或最佳拟合值。每条曲线都是 $f_{\mathrm{frac}}$ 的上限；边界以上的点被排除，以下的点仍然允许。

一张图里的两种情形

第4.3节说明了这张图为什么分成两部分。寿命在 $10^{5}$ 到 $10^{12}\,\mathrm s$ 之间时，衰变改变的是复合以前的热历史，主要产生频谱畸变；寿命在 $10^{12}$ 到 $10^{25}\,\mathrm s$ 之间时，各向异性给出很强的限制，因为复合期间及以后释放的能量会改变自由电子的历史。

这种分法正好对应实验室的两半。把释放时刻拖到红移 $1.5\times10^{4}$，频谱变了，可见度函数却纹丝不动。选“推迟的最后散射”预设，在红移1100释放，可见度峰值从1081移到1037，$y$ 却只有 $6.4\times10^{-10}$。各向异性实验探测的正是这类移动。

上限是怎样得到的

模型是标准宇宙学的六个参数，再加上 $\log_{10}f_{\mathrm{frac}}$ 和 $\log_{10}\tau_{\mathrm{dec}}$。这两个参数的允许区形状别扭，作者于是把 $\tau_{\mathrm{dec}}$ 固定在从 $10^{4}$ 到 $10^{27}\,\mathrm s$ 的许多个值上，在每个值处对其余参数抽样，$\log_{10}f_{\mathrm{frac}}$ 取从 $-13$ 到 $0$ 的平坦先验。图中的边界是这些切片之间的插值。

频谱部分的畸变由完整的格林函数及其分配比例算出，也就是第3.2节的方法。他们的等值线因此比早先的P17曲线平滑；P17是把单独的 $\mu$ 上限和 $y$ 上限拼在一起。在长寿命一侧，新上限比P17略紧。作者认为原因有两点：他们取 $f_{\mathrm{eff}}=1$，而P17针对具体衰变道取了更小的值；似然函数也不同，这里用的是近似普朗克2018的模拟似然，P17用的是完整的普朗克2015似然。

预测及其前提：第3.3节

未来区域用的是第32到33页描述的模拟实验。类似PIXIE的任务假定从30吉赫到1太赫分成等宽的15吉赫通道，只受不相关的仪器噪声限制，每个通道约 $5\times10^{-26}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$，所有前景都能借助高频通道扣除。类似PRISM的任务通道相同，噪声低十倍。论文明确说，这些是前景扣除接近最优的理想情形；分析没有对再电离产生的 $y$ 做边缘化；更真实地处理前景可能会削弱灵敏度，对 $\mu$ 尤其如此。

文中给出的两倍标准差灵敏度是：FIRAS为 $\mu$ 的 $3\times10^{-5}$，PIXIE为 $9\times10^{-9}$，PRISM为 $9\times10^{-10}$。常见误读：拿这里FIRAS的 $3\times10^{-5}$ 去和FIRAS公布的95%上限 $9\times10^{-5}$ 比。Fixsen等，1996，摘要 作者自己也说，正因为上面这些处理，他们的灵敏度偏乐观；两个数来自不同的分析方式。

用实验室的单位做一次量级检验：$5\times10^{-26}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$ 就是每个通道 $5\,\mathrm{Jy\,sr^{-1}}$。按实验室的化学势形状，$\mu=9\times10^{-9}$ 让300吉赫处的强度改变约 $2.6\,\mathrm{Jy\,sr^{-1}}$。一个接近单通道噪声、又分布在六十来个通道上的信号，作为探测阈值，量级是对的。这是我们用实验室形状做的估算。

复合谱线：图8之外必然存在的信号

第17到18页的第2.4.3节讨论了宇宙学复合辐射。原子形成时会发射和吸收光子：氢在红移500到2000之间，中性氦在1600到3500之间，一次电离的氦在5000到8000之间。结果是叠在 $y$ 畸变上的一串小峰，强度约为 $0.01$ 到 $1\,\mathrm{Jy\,sr^{-1}}$。论文称它是标准模型里最小的贡献，未来的探测器或许够得着，并指出两点：从氢复合结束到今天，它的形状保持不变；奇异的能量注入可能改变这个形状。作者的程序没有包括它。

实验室同样没有模拟这些谱线，它的频谱只显示 $\mu$ 和 $y$ 两种形状。真实的信号是这些形状、复合谱线、晚期热气体产生的 $y$，以及银河系自身前景的总和。

读下一张上限图时的清单

1. 写下注入模型，以及所有被设为1的效率因子。
2. 认清坐标轴、置信度的定义，以及每块区域是测量还是预测。
3. 对每个预测，列出噪声、频率范围和前景假设。
4. 找出坐标轴每一段由哪种观测主导，以及为什么是它。
5. 核对文中引用的灵敏度是否与同一仪器公布的上限相符；不符的话，弄清原因。
6. 记下分析里漏掉的必然信号。