暴胀：从量子涨落到宇宙纹理

很早的一个微小涨落，怎样变成今天巨大的结构？ 暴胀时空间膨胀得极快，场里的量子抖动被拉到任何信号都追不上的尺度。涨落一旦比视界还大，就不再振荡，幅度也固定下来。后来引力把这些冻结的起伏放大，成了微波背景里的冷热斑，再长成星系。

拖动暴胀子势能上的台阶，看量子涨落离开视界后冻结下来，再把算出的谱和 Planck 限制对照。

主尺度处的谱指数 $0.965$

张量标量比 $3.55\times10^{-3}$

台阶造成的最大起伏 $33.3\%$

最大的挤压极限非高斯幅度 $-0.651$

每个模式离开视界后就冻结

$k=0.002\,\mathrm{Mpc^{-1}}$
$k=0.01\,\mathrm{Mpc^{-1}}$
$k=0.05\,\mathrm{Mpc^{-1}}$

虚线标出离开视界的时刻，白线是当前时间。

原初曲率功率谱

逐模式计算
去掉台阶的同一势能
理想慢滚参考 $H^2/(8\pi^2\epsilon)$
Planck 2018 幂律拟合，68%

双谱的挤压极限

$f_{\rm NL}^{\rm sq}(k)=\tfrac{5}{12}\,[1-n_s(k)]$
Planck 2018 局域模板，68% $-0.9\pm5.1$

这里只计算这一极限。Planck 区间约束的是幅度不随尺度变化的模板。

模型假设与来源

单个正则标量场，约化普朗克单位，以 e 倍数 $N=\ln a$ 计时。每个模式在 $k/aH=100$ 时从 de Sitter 的 Bunch–Davies 真空出发，到 $k/aH=10^{-3}$ 时读取。
势能整体高度重新标定，使平滑模型在 $k_*=0.05\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处给出 $\ln(10^{10}A_s)=3.044$ ；剩下 $N_*$ 个 e 倍时 $k_*=aH$ 。
台阶采用 Adams、Cresswell 与 Easther（2001）的 tanh 形式。台阶高度和“夸大的陡峭台阶”都只作示意，并非拟合结果；Planck 2018 没有发现偏好此类特征的证据。
这里只给出双谱的挤压极限。陡峭特征还会产生等边形与振荡形双谱，本 Lab 没有计算。
右图在边长 6.3 Gpc 的周期区域里，按计算出的方差抽取独立的 Gaussian Fourier 幅度，波数从 $k=10^{-3}$ 到网格上限。它表现的是两点函数，不是模拟出的天空。

独立对照：幂律暴胀的精确谱、de Sitter 模式函数、正则 Wronskian、步长减半，以及另写的 Python 求解器。

涨落一旦大过视界，就不再变化

背景暴胀时能量密度几乎不变，空间每过一个 e 倍就放大 e 倍，哈勃长度却几乎不动。一个共动尺寸固定的量子涨落，起先远小于哈勃长度，还在振荡；再过几个 e 倍，它已远大于哈勃长度，曲率幅度也就固定了。

为什么值得理解这些冻结下来的幅度，就是微波背景里测到的种子。每个尺度离开视界时势能有多陡，决定了种子有多强；所以测得的谱能反过来限制势能的形状。

核心问题: 为什么每个涨落只记得自己离开视界的那一刻？
一句话直觉: 视界外曲率模式有一个不变的解，所以谱记录的是每个尺度离开视界时附近的势能。

核心数学模型

以 e 倍数为时间的背景演化

H^2=\frac{V}{3-\epsilon},\qquad \epsilon=\frac{\phi'^2}{2},\qquad \phi''=-(3-\epsilon)\,\phi'-\frac{V_{,\phi}}{H^2}

撇号表示对 e 倍数 $N$ 求导，采用约化普朗克单位。当 $\epsilon=1$ 时，暴胀结束。

曲率扰动的一个 Fourier 模式

\mathcal R_k''+\left(3-\epsilon+\frac{2\phi''}{\phi'}\right)\mathcal R_k'+\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}\mathcal R_k=0

视界内最后一项占主导，模式振荡且幅度衰减；视界外最后一项可以忽略，只剩下一个常数解。

本 Lab 画出的量

\mathcal P_{\mathcal R}(k)=\frac{k^3}{2\pi^2}\,\lvert\mathcal R_k\rvert^2,\qquad n_s-1=\frac{d\ln\mathcal P_{\mathcal R}}{d\ln k},\qquad f_{\rm NL}^{\rm sq}=\frac{5}{12}\,(1-n_s)

谱在模式冻结后读取。最后一式是单场模型的挤压极限，约定为 $\zeta=\zeta_g+\tfrac35 f_{\rm NL}\zeta_g^2$ 。

常见难点

视界不是一堵墙

容易误解模式在视界处停下，是因为有什么东西挡住了它。

正确理解没有东西挡住它。空间被拉伸，振荡项越来越小，压强梯度再也推不回这个起伏。

一个台阶会影响许多尺度

容易误解势能上的一个台阶，只该改变一个波数。

正确理解场速度的突然变化会扰动仍在视界内的模式，所以更小的尺度上也会留下振荡。

动手实验

01
看一个模式冻结
让动画播放，同时看舞台下方左边的图。
你会看到： 每条曲线在视界内振荡时下降，越过虚线代表的离开时刻后变平。
02
拖动台阶
在势能曲线上把金色手柄上下、左右拖动。
你会看到： 台阶越高，谱上的振荡越大；挪动台阶，振荡的尺度也随之移动。
03
和 Planck 对照
依次选择“陡坡与强引力波”和“更短的再加热历史”。
你会看到： 陡坡模型的张量标量比远高于现有上限；主尺度之后 e 倍数变少，谱指数随之降低。