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Sandbox Physics
从量子涨落到宇宙纹理

怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索

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这份指南带你读 Planck 检验原初谱特征和非高斯性的那些章节、表格和图，再读把这些结果和更新数据放在一起的 PDG 综述。每一条结论，我们都说明是谁提出的、出自哪个版本，以及它属于哪一类说法。

打开哪些文献，它们各属哪一类

Planck 2018 X《暴胀的限制》，arXiv:1807.06211v2，2019年8月2日；Planck 2018 IX《原初非高斯性的限制》，arXiv:1905.05697v1。两篇都是为 Astronomy and Astrophysics 准备的合作组论文，下文引用的数值属于已发表的测量。

粒子物理评论第23章《暴胀》，2025年8月由 Ellis、Vennin 和 Wands 修订。这是已发表的综述，总结了较新的结果。其中两项我们只按综述的转述使用：ACT 组合得到的谱指数（引作 arXiv:2503.14452），以及 BICEP、Keck Array 与 Planck 的张量上限。这两篇原文我们没有读。

课程里的曲线是由 Lab 方程得到的模型预言，并经独立的 Python 参考程序复算。每张图都标明了“计算”。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1 · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

Planck X 第7.1.2节：台阶模板

第7.1.2节引用 Adams、Cresswell 与 Easther，用一个展开到二阶的模板描述势能上的 tanh 台阶。式57 加上一阶项 I0I_0 和二阶项 I1I_1；式58至62 用窗函数 W0W_0、W1W_1 和阻尼函数 D(x)=x/sinh⁡xD(x)=x/\sinh x 定义它们。

特征由三个参数决定：幅度 AsA_s、位置 ksk_s 和阻尼宽度 xsx_s。注意记号：同一篇论文在别处用这个符号表示标量谱振幅，这里它指的却是特征的大小。表11 给出先验：幅度 00 到 11，log⁡10(ks/Mpc−1)\log_{10}(k_s/\mathrm{Mpc}^{-1}) 从 −5-5 到 −1-1，ln⁡xs\ln x_s 从 −1-1 到 55。

Lab 不用这个模板，而是直接为 tanh 台阶积分模式方程。台阶的高度、位置和宽度，与 AsA_s、ksk_s、xsx_s 只能粗略对应，所以我们不声称任何 Lab 预设复现了 Planck 的拟合。

ln⁡PRs(k)=ln⁡PR0(k)+I0(k)+ln⁡[1+I12(k)]\ln\mathcal{P}^{s}_{\mathcal{R}}(k)=\ln\mathcal{P}^{0}_{\mathcal{R}}(k)+I_0(k)+\ln\left[1+I_1^{2}(k)\right]
照录 Planck 2018 X 式57。PR0\mathcal{P}^0_{\mathcal{R}} 是没有特征的幂律谱。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

第7.2至7.3节与表12：拟合更好不等于有证据

第7.2节用嵌套采样，把每个模板拟合到不分箱的高多极矩似然函数上，冗余参数固定在基准模型的最佳拟合值。得到两个数：拟合改善 Δχeff2\Delta\chi^2_{\mathrm{eff}} 和 Bayes 因子的对数 ln⁡B\ln B。

表12 中，台阶模型的 Δχeff2\Delta\chi^2_{\mathrm{eff}} 在温度数据上为 −7.0-7.0，E 偏振为 −5.2-5.2，两者合并为 −5.4-5.4；对应 ln⁡B=0.0\ln B=0.0、−0.2-0.2、0.10.1。第7.3节指出，这些改善落在拟合噪声预期的约 1010 以内；还指出偏振数据的最佳拟合与温度的相位对不上，log⁡10ks\log_{10}k_s 分别为 −3.47-3.47 和 −3.11-3.11。

第7.3节的结论是：所有模型与数据组合的证据，介于“几乎不值一提”和“有相当证据反对”之间，Planck 数据不偏好这些特征。多加三个参数，总能换来一点 χ2\chi^2；Bayes 因子会为这些参数收费。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

图28：只适用于振荡、不适用于台阶的上限

图28 画出式56 中对数振荡与线性振荡模型的调制幅度随频率的限制。正文说明，在先验的频率范围内，相对调制被限制在约 3%3\% 以内。

这个上限针对的是遍布全部观测尺度的振荡。台阶在大尺度上造成局部起伏，那里宇宙方差很大，所以 3%3\% 不能直接套到 Lab 的台阶上。每个上限都只属于它自己的模板。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

Planck IX：模板与应当引用的数值

第2.1节给出等边与正交模板（式1、式2），对应动力学不标准的单场模型；第2.2节给出局域模板（式3），多场模型中常见。这些模板都以 Bardeen 势 Φ\Phi 书写，而不是 ζ\zeta。

最终数值取自表5：温度加 E 偏振，扣除透镜偏差，KSW 估计量，fNLlocal=−0.9±5.1f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{local}}=-0.9\pm5.1、fNLequil=−26±47f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{equil}}=-26\pm47、fNLortho=−38±24f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{ortho}}=-38\pm24，68%68\% 置信度，仅含统计误差。PDG 2025 在式23.103 中把局域值写作 −1±5-1\pm5。

想理解 look-elsewhere 效应，就看表10。对特征双谱的搜索，原始峰值显著性最高 3.0σ3.0\sigma，计入参数扫描的范围后，最高只剩 1.1σ1.1\sigma。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1 · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

PDG 2025：谱指数、张量上限与再加热

第23.3.4节在式23.55 引用 Planck 的 ns=0.9649±0.0042n_s=0.9649\pm0.0042，并说明 ACT 与 Planck、透镜和 DESI 数据结合后偏好 0.975±0.0030.975\pm0.003，同时指出这还不是完整的联合分析。式23.57 给出 r<0.036r<0.036（95%95\% 置信度）。

第23.6节解释了谱指数为什么也在检验再加热：同一模型里，nsn_s 和 rr 都依赖 N∗N_*，而 nsn_s 的测量误差，与 N∗N_* 从 5050 变到 6060 引起的变化相当。第23.4.11节说，对高原一类模型，Planck 允许 51<N∗<6551<N_*<65；如果 ACT 的较高数值得到确认，需要 2σ2\sigma 下 N∗>60N_*>60，采用常规再加热的最简单版本就会被排除。

我们算出的曲线显示了同样的张力。高原模型在 N∗N_* 约 4949 到 6363 时落在 Planck 的 1σ1\sigma 带内；在我们的网格上，N∗=64N_*=64 时也只到 0.96970.9697，够不到 ACT 的色带。与 PDG 范围的小差别，来自它的最低阶公式，以及 NN 数到哪里为止。

两种势能算出的谱指数和张量标量比随主尺度离开视界后 e 倍数的变化，并叠上已发表的限制
圆点是 R2R^2 高原和 12m2ϕ2\tfrac12m^2\phi^2 的数值谱结果，nsn_s 由 k=0.05 Mpc−1k=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 附近的有限差分得到。色带照录已发表数值：Planck 2018 的 ns=0.9649±0.0042n_s=0.9649\pm0.0042；ACT 组合结果 0.975±0.0030.975\pm0.003，PDG 2025 说明它还不是完整的联合分析；以及 PDG 2025 给出的 r<0.036r<0.036（95%95\% 置信度）。 查看完整图像

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Original background and mode calculations with an independent Python reference

给这些说法分类

已发表的测量：Planck 的谱指数、振幅、特征拟合和非高斯性限制。已发表的综述：PDG 的总结及其关于再加热的讨论。经转述、我们没有读原文的：ACT 组合结果和张量上限，都取自 PDG 正文。模型预言：Planck X 的式48，以及我们的数值谱。

尚未解决的问题：较高的谱指数能否经受完整的联合分析；张量能否被探测到；大尺度上的某个特征是否不只是噪声；再加热怎样确定 N∗N_*；以及是否存在远高于单场数值的挤压非高斯性，那将意味着不止一个场。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1

比较论文之前，先查这些记号陷阱

Maldacena 式1.2 里的谱指数符号，指偏离标度不变的量，即现代写法的 ns−1n_s-1。Creminelli 与 Zaldarriaga 的式5 定义的 fNLf_{\mathrm{NL}}，与 Planck、PDG 符号相反。Planck IX 的模板以 Φ\Phi 书写，按 Planck 的符号约定，物质主导时期 Φ=35ζ\Phi=\tfrac35\zeta。

Planck X 用 AsA_s 表示标量谱振幅，在第7.1.2节又用它表示台阶幅度。张量上限有的在 k=0.002k=0.002，有的在 0.05 Mpc−10.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}。N∗N_* 取决于暴胀结束怎样定义，我们用 ϵ=1\epsilon=1。

对应阅读：Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5 · Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2 · Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1

练习与解释性答案

  1. 温度数据上，台阶拟合用三个额外参数让 χ2\chi^2 改善了 7.07.0，而 ln⁡B=0.0\ln B=0.0。为什么这不算探测到？

    展开解释

    第7.3节指出，这种大小的改善在拟合噪声预期的约 1010 以内。Bayes 因子为零，说明计入参数空间的代价后，数据并不偏好台阶。偏振拟合落在另一个 ksk_s，与温度相位不符，真实的特征不会这样。

  2. Planck 温度数据的最佳拟合 log⁡10(ks/Mpc−1)=−3.11\log_{10}(k_s/\mathrm{Mpc}^{-1})=-3.11。按 Lab 的约定 N∗=55N_*=55，这个尺度大约在结束前多少个 e 倍数离开视界？

    展开解释

    ks=7.8×10−4 Mpc−1k_s=7.8\times10^{-4}\,\mathrm{Mpc}^{-1}，ln⁡(0.05/7.8×10−4)=4.17\ln(0.05/7.8\times10^{-4})=4.17。它比主尺度早约 4.24.2 个 e 倍数离开视界，即结束前约 59.259.2 个 e 倍数。这与 Lab 的默认台阶很接近，但模板幅度与台阶高度并不一一对应，所以这不是拟合。

  3. 两篇论文用同样的数据报告局域 fNLf_{\mathrm{NL}}，符号却相反。首先该查什么？

    展开解释

    查定义里的符号约定：ζ=ζg±35fNLζg2\zeta=\zeta_g\pm\tfrac35f_{\mathrm{NL}}\zeta_g^2，或者用 Φ\Phi 写的等价形式。Creminelli 与 Zaldarriaga 的式5 用负号；Planck 和 PDG 的约定下，正值表示 ζ\zeta 的挤压双谱为正。

  4. 某个特征搜索报告原始峰值 3.0σ3.0\sigma，单峰修正后为 1.1σ1.1\sigma。应当引用哪个？

    展开解释

    引用修正后的 1.1σ1.1\sigma。原始值没有考虑试过的大量频率和相位；look-elsewhere 修正计入了扫描范围的大小。

动手检验预测

把台阶放到 Planck 最佳拟合的位置

  1. 拖动金色手柄或使用滑块，把越过台阶的时刻设为结束前 59.259.2 个 e 倍数。
  2. 谱图里的起伏现在位于 k≈10−3 Mpc−1k\approx10^{-3}\,\mathrm{Mpc}^{-1} 附近，正是 Planck 最佳拟合台阶的尺度。
  3. 降低台阶高度，直到起伏只有百分之几。记住，这只是尺度上的对照，不是对 Planck 数据的拟合。

来源与计算范围

  1. Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

    核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

  2. Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1

    核读 v1 全文，重点是第2.1至2.2节（式1至3，以 Bardeen 势而不是曲率扰动书写）、表5扣除透镜-ISW 后的 SMICA T+E 最终结果，以及表10经 look-elsewhere 修正的特征模型峰值统计。

  3. Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

    通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

  4. Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

    通读 v2。式1给出我们采用的 tanh 台阶；式6至19给出以 e 倍数为时间的模式方程与初值。我们的代码独立编写，台阶加在 Starobinsky 高原和二次势上，不只是原文的二次势情形。

  5. Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5

    通读 v5。式1.2给出挤压极限的论证。该文的谱指数符号指偏离标度不变的量，相当于现代写法中谱指数减一。

  6. Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2

    通读 v2。式1给出任意单场模型的一致性关系。式5 定义的局域非高斯幅度与 Planck、PDG 符号相反；我们采用 PDG 的符号，不使用也不改写式6。

  7. Original background and mode calculations with an independent Python reference

    自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

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