跳到主要内容
Sandbox Physics
从量子涨落到宇宙纹理

推导算出原初谱所用的模式方程

Sandbox Physics ·

Lab 不靠慢滚公式来得到原初谱。它先积分背景演化，再把每个模式从量子真空一直积分到冻结。本章推导这些方程，并给出两项判断结果是否可信的检查。

用 e 倍数写背景演化

从 Friedmann 方程 3H2=12ϕ˙2+V3H^2=\tfrac12\dot\phi^2+V 和场方程 ϕ¨+3Hϕ˙+V,ϕ=0\ddot\phi+3H\dot\phi+V_{,\phi}=0 出发，把时间导数换成 ϕ˙=Hϕ′\dot\phi=H\phi'。

Friedmann 方程变成 H2(3−12ϕ′2)=VH^2(3-\tfrac12\phi'^2)=V。记 ϵ=12ϕ′2\epsilon=\tfrac12\phi'^2，它恰好等于 −H˙/H2-\dot H/H^2，于是得到下面第一式。把 H′/H=−ϵH'/H=-\epsilon 代入场方程，得到第二式。

背景演化就是这两行。ϵ=1\epsilon=1 时暴胀结束。这里没有用任何慢滚假设；即使场在台阶上趔趄一下，方程依然成立。

H2=V3−ϵ,ϕ′′=−(3−ϵ) ϕ′−V,ϕH2,ϵ=12ϕ′2H^{2}=\frac{V}{3-\epsilon},\qquad \phi''=-(3-\epsilon)\,\phi'-\frac{V_{,\phi}}{H^{2}},\qquad \epsilon=\tfrac12\phi'^{2}
以 e 倍数为时间的单场背景方程，没有近似。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

慢滚是近似，不是模型本身

势能平坦时，ϕ′′\phi'' 很小，ϵ≈ϵV=12(V,ϕ/V)2\epsilon\approx\epsilon_V=\tfrac12(V_{,\phi}/V)^2。Lab 只用它画那条虚线参考曲线。

算例：R2R^2 高原 V=V0(1−e−2/3 ϕ)2V=V_0(1-e^{-\sqrt{2/3}\,\phi})^2。取 N∗=55N_*=55，积分器给出主尺度离开视界时 ϕ∗=5.3213\phi_*=5.3213。此处 e−2/3 ϕ∗=0.012974e^{-\sqrt{2/3}\,\phi_*}=0.012974，所以 V,ϕ/V=0.021464V_{,\phi}/V=0.021464，ϵV=2.30×10−4\epsilon_V=2.30\times10^{-4}。积分得到的背景给出 ϵ=2.28×10−4\epsilon=2.28\times10^{-4}，低约百分之一。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

从场到波动方程

在共动规范下把作用量展开到二阶，只剩一个标量自由度，即曲率扰动 R\mathcal{R}。组合 v=zRv=z\mathcal{R}（z=aϕ′z=a\phi'）在共形时间里满足一个波动方程，有效质量为 z′′/zz''/z。

改写成 e 倍数，就是下面第一式。摩擦项等于 dln⁡(z2aH)/dNd\ln(z^2aH)/dN，也就是上一章通量形式展开后的样子。每个张量偏振的结构相同，只是把 zz 换成 aa，所以摩擦只有 3−ϵ3-\epsilon。

陡峭的台阶会让 ϕ′′/ϕ′\phi''/\phi' 在不到一个 e 倍数的时间里突变。摩擦项随之踢一下恰在那时离开视界的模式。谱上的振荡就是这样来的。

R′′+(3−ϵ+2ϕ′′ϕ′)R′+(kaH)2R=0,h′′+(3−ϵ) h′+(kaH)2h=0\mathcal{R}''+\left(3-\epsilon+\frac{2\phi''}{\phi'}\right)\mathcal{R}'+\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}\mathcal{R}=0,\qquad h''+(3-\epsilon)\,h'+\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}h=0
以 e 倍数为时间的标量与张量模式方程。两者都是线性的，每个 kk 可以单独积分。

对应阅读：Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5 · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

从 Bunch–Davies 真空起步

在视界深处，模式就是平直时空里的波，这确定了初态 v→e−ikτ/2kv\to e^{-ik\tau}/\sqrt{2k}。我们在 τ=−1/(aH)\tau=-1/(aH) 处使用这个解的 de Sitter 精确形式，并在 k/aH=100k/aH=100 时起步。

起步太晚，近似初态会带来误差；起步更早只是多花时间。基准脚本检查了这个选择：无论起点取 k/aH=50k/aH=50、100100 还是 200200，与幂律暴胀精确解相比，相对误差都低于 2×10−62\times10^{-6}。

vk(τ)=e−ikτ2k(1−ikτ),Rk=vkzv_k(\tau)=\frac{e^{-ik\tau}}{\sqrt{2k}}\left(1-\frac{i}{k\tau}\right),\qquad \mathcal{R}_k=\frac{v_k}{z}
作为初值的 de Sitter 模式函数；τ\tau 为共形时间。

对应阅读：Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2 · Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

Wronskian：不用知道答案的精度检查

正则量子化要求 v ∂τv∗−v∗∂τv=iv\,\partial_\tau v^*-v^*\partial_\tau v=i 始终成立。由于 v=zRv=z\mathcal{R}、∂τ=aH d/dN\partial_\tau=aH\,d/dN，它变成下面的条件。精确解保持它，数值误差会破坏它。

在 Lab 的定步长积分器里，偏差随步长按预期下降。以幂律暴胀为测试，步长系数 0.30.3、0.150.15、0.0750.075 给出的 Wronskian 偏差为 1.1×10−31.1\times10^{-3}、4.3×10−54.3\times10^{-5}、5.5×10−65.5\times10^{-6}，功率谱误差为 7.7×10−47.7\times10^{-4}、4.4×10−54.4\times10^{-5}、6.5×10−66.5\times10^{-6}。两者一起缩小，所以这个偏差可以当报警灯用。

z2aH(R R∗′−R∗R′)=iz^{2}aH\left(\mathcal{R}\,\mathcal{R}^{*\prime}-\mathcal{R}^{*}\mathcal{R}'\right)=i
每一步都必须成立。它偏离 ii 的程度，在不知道答案的情况下衡量积分误差。

对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1

读出原初谱

每个模式积分到 k/aH=10−3k/aH=10^{-3}，此时已经冻结，再按下式得到谱。张量的系数 88 合并了两个偏振，以及各自的 2/Mpl2/M_{\mathrm{pl}} 归一化。

虚线是最低阶慢滚估计 H2/(8π2ϵ)H^2/(8\pi^2\epsilon)，在 k=aHk=aH 处取值。在高原上，它在主尺度处比数值结果低 2.5%2.5\%；对 12m2ϕ2\tfrac12m^2\phi^2，差 0.8%0.8\%。最低阶公式丢掉了与慢滚参数同阶的项。高原上 ∣ηV∣|\eta_V| 约为 0.0170.017，而 ϵ\epsilon 约为 2×10−42\times10^{-4}，差几个百分点正在预期之内。

PR=k3∣Rk∣22π2,Pt=8k3∣hk∣22π2,PR≈H28π2ϵ∣k=aH\mathcal{P}_{\mathcal{R}}=\frac{k^{3}|\mathcal{R}_k|^{2}}{2\pi^{2}},\qquad \mathcal{P}_{t}=\frac{8k^{3}|h_k|^{2}}{2\pi^{2}},\qquad \mathcal{P}_{\mathcal{R}}\approx\left.\frac{H^{2}}{8\pi^{2}\epsilon}\right|_{k=aH}
数值读数与最低阶慢滚估计。在我们的变量里，单个偏振 hk=vk/ah_k=v_k/a。

对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1

练习与解释性答案

  1. 验证 v=e−ikτ/2kv=e^{-ik\tau}/\sqrt{2k} 满足 v ∂τv∗−v∗∂τv=iv\,\partial_\tau v^*-v^*\partial_\tau v=i。

    展开解释

    ∂τv∗=ik eikτ/2k\partial_\tau v^*=ik\,e^{ik\tau}/\sqrt{2k}，所以 v ∂τv∗=i/2v\,\partial_\tau v^*=i/2；同理 v∗∂τv=−i/2v^*\partial_\tau v=-i/2。两者相减得 ii，与时间无关。

  2. 由 Friedmann 方程推出 H2=V/(3−ϵ)H^2=V/(3-\epsilon)，并说明 ϵ\epsilon 升到 11 时 HH 怎样变化。

    展开解释

    代入 ϕ˙=Hϕ′\dot\phi=H\phi'，得 3H2=12H2ϕ′2+V3H^2=\tfrac12H^2\phi'^2+V，即 H2(3−ϵ)=VH^2(3-\epsilon)=V。ϵ→1\epsilon\to1 时 H2→V/2H^2\to V/2，而不是 V/3V/3：动能已占总能量的三分之一，加速随之停止。

  3. 为什么台阶对标量谱影响很大，对张量谱却几乎没有影响？

    展开解释

    台阶通过 2ϕ′′/ϕ′2\phi''/\phi' 进入标量的摩擦项，场一趔趄它就突变。张量的摩擦 3−ϵ3-\epsilon 只含 ϵ\epsilon，小台阶几乎改变不了它。Lab 中主尺度处的张量标量比，有没有默认台阶都是 0.003550.00355。

动手检验预测

把完整计算和慢滚近似放在一起比

  1. 选“平滑高原”。在谱图里比较算出的实线和虚线慢滚参考：两者平行，但相差几个百分点。
  2. 选“陡坡与强引力波”。差距变小，与上面 0.8%0.8\% 的数字一致。
  3. 选“夸大的陡峭台阶”。慢滚参考只在场趔趄的地方出现一个凹陷，算出的谱却在更宽的范围里振荡。最低阶公式只读当地的背景，看不到这串振荡。

来源与计算范围

  1. Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

    核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

  2. Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

    通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

  3. Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

    通读 v2。式1给出我们采用的 tanh 台阶；式6至19给出以 e 倍数为时间的模式方程与初值。我们的代码独立编写，台阶加在 Starobinsky 高原和二次势上，不只是原文的二次势情形。

  4. Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5

    通读 v5。式1.2给出挤压极限的论证。该文的谱指数符号指偏离标度不变的量，相当于现代写法中谱指数减一。

  5. Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1

    通读 v1，并对照扫描页第4至6页。式31、41、43 给出幂律暴胀的精确谱，我们的求解器必须复现它们。

  6. Original background and mode calculations with an independent Python reference

    自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

继续阅读

这一页直接连着哪些内容

当前页面推导算出原初谱所用的模式方程

实验

文章

从量子涨落到宇宙纹理 · 阅读路径

离开视界、模式方程与谱的限制

  1. 文章一个量子涨落怎样长成宇宙结构
  2. 文章被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化
  3. 当前页面推导算出原初谱所用的模式方程
  4. 文章谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么
  5. 文章复算一条原初谱，并检验求解器
  6. 文章怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索
这个页面有错误、看不明白，或者缺了什么？告诉我们
反馈类型

提交时会附带本页地址、Lab ID、网站语言和设备类型。请不要填写个人信息。反馈最多保存 12 个月。隐私政策