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Sandbox Physics
从量子涨落到宇宙纹理

谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么

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观测对单场暴胀的约束，大部分落在三个数上：谱指数 nsn_s、张量标量比 rr，以及挤压极限下的三点函数幅度。本章逐个推导，把 Lab 的数值结果和慢滚估计对照，再说明它们各自面对哪些已发表的限制。

谱指数衡量冻结条件变化得多快

定义 ns−1=dln⁡PR/dln⁡kn_s-1=d\ln\mathcal{P}_{\mathcal{R}}/d\ln k。每个 kk 在 k=aHk=aH 时冻结，此处 dln⁡k=(1−ϵ) dNd\ln k=(1-\epsilon)\,dN，因此谱指数衡量的是 H2/ϵH^2/\epsilon 每个 e 倍数变化多快。按势能慢滚参数取最低阶，得到下式。

高原上的算例，ϕ∗=5.3213\phi_*=5.3213：ϵV=2.30×10−4\epsilon_V=2.30\times10^{-4}，ηV=V,ϕϕ/V=−0.0173\eta_V=V_{,\phi\phi}/V=-0.0173，于是 ns≈1−0.0360=0.9640n_s\approx1-0.0360=0.9640。数值谱在 0.0490.049 与 0.051 Mpc−10.051\,\mathrm{Mpc}^{-1} 之间差分，得到 0.964900.96490。这里最低阶近似的精度约为 10−310^{-3}。

ns−1≡dln⁡PRdln⁡k≃2ηV−6ϵV,ϵV=12(V,ϕV)2,ηV=V,ϕϕVn_s-1\equiv\frac{d\ln\mathcal{P}_{\mathcal{R}}}{d\ln k}\simeq2\eta_V-6\epsilon_V,\qquad \epsilon_V=\frac12\left(\frac{V_{,\phi}}{V}\right)^{2},\quad \eta_V=\frac{V_{,\phi\phi}}{V}
最低阶慢滚谱指数，在模式离开视界处取值。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Original background and mode calculations with an independent Python reference

两种势能，两套预言

对 R2R^2 高原，Planck 2018 X 的式48给出最低阶结果 ns−1≃−2/Nn_s-1\simeq-2/N、r≃12/N2r\simeq12/N^2。N∗=55N_*=55 时分别为 0.96360.9636 和 0.003970.00397；完整计算给出 0.96490.9649 和 0.003550.00355。这两个公式只到 1/N1/N 的最低阶，而且我们的 NN 数到 ϵ=1\epsilon=1 为止。

对 12m2ϕ2\tfrac12m^2\phi^2，ϵV=2/ϕ2\epsilon_V=2/\phi^2，暴胀在 ϕ2=2\phi^2=2 附近结束，所以 ϕ∗2≃4N+2\phi_*^2\simeq4N+2，代入得 ns−1≃−2/(N+12)n_s-1\simeq-2/(N+\tfrac12)、r≃8/(N+12)r\simeq8/(N+\tfrac12)，N=55N=55 时为 0.96400.9640 和 0.1440.144；数值结果是 0.96340.9634 和 0.14400.1440。

两种势能的谱指数都符合 Planck，但 rr 相差四十倍，正是这一点把它们分开。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

张量：排除陡坡的那个比值

引力波和曲率涨落一样会冻结，只是摩擦为 3−ϵ3-\epsilon。最低阶下 r=Pt/PR≃16ϵr=\mathcal{P}_t/\mathcal{P}_{\mathcal{R}}\simeq16\epsilon，所以 rr 衡量势能的坡度，并通过 HH 反映暴胀的能标。

PDG 2025 引用 BICEP、Keck Array 与 Planck 数据，给出 r<0.036r<0.036（95%95\% 置信度）。二次势在 N∗N_* 从 6464 到 4444 时给出 0.1240.124 到 0.1790.179，大了三到五倍，见右侧面板；高原则远在上限之下。

一定要看清主尺度。Planck 2018 X 给出的是 r0.002<0.056r_{0.002}<0.056，对应 k=0.002 Mpc−1k=0.002\,\mathrm{Mpc}^{-1}。高原模型在那里的 rr 为 0.003180.00318，在 0.05 Mpc−10.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 处为 0.003550.00355。Lab 报告的是 0.05 Mpc−10.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 处的值，因为大尺度上的台阶会扭曲 r0.002r_{0.002}。

两种势能算出的谱指数和张量标量比随主尺度离开视界后 e 倍数的变化，并叠上已发表的限制
圆点是 R2R^2 高原和 12m2ϕ2\tfrac12m^2\phi^2 的数值谱结果，nsn_s 由 k=0.05 Mpc−1k=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 附近的有限差分得到。色带照录已发表数值：Planck 2018 的 ns=0.9649±0.0042n_s=0.9649\pm0.0042；ACT 组合结果 0.975±0.0030.975\pm0.003，PDG 2025 说明它还不是完整的联合分析；以及 PDG 2025 给出的 r<0.036r<0.036（95%95\% 置信度）。 查看完整图像

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

再加热让主尺度沿着势能移动

主尺度离开视界到暴胀结束之间有多少个 e 倍数 N∗N_*，取决于之后的膨胀历史，包括再加热。PDG 2025 指出，nsn_s 的测量误差，和许多模型在 N∗N_* 取 5050 到 6060 时预言值的变化幅度相当。

左侧面板把这一点画了出来。在我们的网格上，高原模型从 N∗=44N_*=44 的 ns=0.9564n_s=0.9564 一直到 N∗=64N_*=64 的 0.96970.9697；N∗N_* 大约在 4949 到 6363 之间时落在 Planck 的 1σ1\sigma 带内。Lab 的“更短的再加热历史”预设取 N∗=46N_*=46，给出 0.95830.9583。

测量谱指数，约束的其实是势能和暴胀之后的历史两者的组合。这种简并会在论文阅读指南里再次出现。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Original background and mode calculations with an independent Python reference

挤压三角形与一致性关系

三点函数 ⟨ζζζ⟩\langle\zeta\zeta\zeta\rangle 取决于由三个波数组成的三角形。在挤压极限 k1≪k2≃k3k_1\ll k_2\simeq k_3 下，长模式早在短模式之前就冻结了。对短模式来说，它只是坐标的一次整体缩放，而这会按谱指数改变它们的功率。

这就得到下面第一式，即 Maldacena 式1.2 的论证。Creminelli 和 Zaldarriaga 证明它对任何单场模型都成立。采用 Planck 和 PDG 的符号约定，相当于 ζ=ζg+35fNLζg2\zeta=\zeta_g+\tfrac35f_{\mathrm{NL}}\zeta_g^2，局域模板的挤压极限为 125fNLP(k1)P(k2)\tfrac{12}{5}f_{\mathrm{NL}}P(k_1)P(k_2)。两者相等，得到 fNL=5(1−ns)/12f_{\mathrm{NL}}=5(1-n_s)/12。

取 ns=0.9649n_s=0.9649，这个值是 0.01460.0146。Planck 2018 IX 测得 fNLlocal=−0.9±5.1f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{local}}=-0.9\pm5.1，单场的值比误差小约 350350 倍。反过来，如果明确探测到接近 11 的局域信号，就说明背后不止一个场。

lim⁡k1→0Bζ(k1,k2,k3)=(1−ns) Pζ(k1)Pζ(k2),fNLsq=512(1−ns)\lim_{k_1\to0}B_\zeta(k_1,k_2,k_3)=(1-n_s)\,P_\zeta(k_1)P_\zeta(k_2),\qquad f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{sq}}=\frac{5}{12}(1-n_s)
其中 Pζ(k)=2π2PR(k)/k3P_\zeta(k)=2\pi^2\mathcal{P}_{\mathcal{R}}(k)/k^3 是有量纲的谱，谱指数取短模式处的值。

对应阅读：Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5 · Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2 · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1

Lab 的挤压读数是什么，不是什么

Lab 在每个短模式 kk 处，用算出的谱的局部谱指数计算 512(1−ns(k))\tfrac{5}{12}(1-n_s(k))。平滑高原上它始终低于 0.020.02。加上默认台阶后，局部谱指数来回摆动，最大值达到 −0.651-0.651；夸大的陡峭台阶则达到 3.933.93。

这是受限的双谱：只有挤压极限，而且只通过一致性关系得到。三边相近的三角形需要完整的三阶相互作用，这里没有计算。它只覆盖台阶三点信号的这一个极限，但已经说明：谱上的特征必然也出现在挤压三角形里。

有无小台阶时算出的原初谱，叠在 Planck 幂律带上，以及台阶带来的百分比起伏
自有计算，110110 个波数：Lab 默认台阶（c=2×10−5c=2\times10^{-5}，在结束前 5959 个 e 倍数越过）与去掉台阶的同一高原。两条曲线一起缩放，使平滑曲线在 k=0.05 Mpc−1k=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 处等于 As=e3.044×10−10A_s=e^{3.044}\times10^{-10}。阴影带是 Planck 2018 的幂律谱，ns=0.9649±0.0042n_s=0.9649\pm0.0042，只作理想参考，不是对这两条曲线的拟合。 查看完整图像

对应阅读：Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

练习与解释性答案

  1. 用最低阶公式预言 12m2ϕ2\tfrac12m^2\phi^2 在 N=60N=60 时的 nsn_s 和 rr，再与数值结果 0.966440.96644、0.13220.1322 比较。

    展开解释

    ns≃1−2/60.5=0.96694n_s\simeq1-2/60.5=0.96694，r≃8/60.5=0.1322r\simeq8/60.5=0.1322。张量比四位数字吻合；谱指数差 5×10−45\times10^{-4}，正是下一阶项的大小。

  2. 如果 ACT 组合结果 ns=0.975n_s=0.975 是对的，单场暴胀会预言多大的挤压幅度？

    展开解释

    fNLsq=5×0.025/12≈0.0104f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{sq}}=5\times0.025/12\approx0.0104。比按 Planck 谱指数算的还小，仍远低于可以预见的任何误差。

  3. 高原模型取 N∗=46N_*=46 时，公式 1−2/N1-2/N 给出 0.95650.9565，数值结果是 0.95830.9583。哪个更可信？为什么不同？

    展开解释

    数值结果更可信，它求解模式方程，没有截断慢滚展开。公式只到 1/N1/N 的最低阶，NN 越小修正越大，所以 N=46N=46 时的差距比 5555 时大。

  4. 台阶让 Lab 的最大挤压幅度变成 −0.651-0.651。这和 Planck 的 −0.9±5.1-0.9\pm5.1 矛盾吗？

    展开解释

    不矛盾。Lab 给的是单个尺度上的最大值；Planck 的局域模板假设 fNLf_{\mathrm{NL}} 与尺度无关，并对大量三角形取平均。要比较，必须把随尺度变化的双谱投影到模板上，Lab 没有做这一步。

动手检验预测

把挤压图和局部谱指数联系起来

  1. 选“平滑高原”。挤压图的曲线略高于零，落在 Planck 色带之内。
  2. 选“台阶让谱出现振荡”。谱随 kk 陡升的地方，挤压值变成负的；谱下降的地方，挤压值为正。
  3. 选“陡坡与强引力波”，读出张量标量比：约 0.1440.144，远高于 0.0360.036。

来源与计算范围

  1. Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

    核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

  2. Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1

    核读 v1 全文，重点是第2.1至2.2节（式1至3，以 Bardeen 势而不是曲率扰动书写）、表5扣除透镜-ISW 后的 SMICA T+E 最终结果，以及表10经 look-elsewhere 修正的特征模型峰值统计。

  3. Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

    通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

  4. Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5

    通读 v5。式1.2给出挤压极限的论证。该文的谱指数符号指偏离标度不变的量，相当于现代写法中谱指数减一。

  5. Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2

    通读 v2。式1给出任意单场模型的一致性关系。式5 定义的局域非高斯幅度与 Planck、PDG 符号相反；我们采用 PDG 的符号，不使用也不改写式6。

  6. Original background and mode calculations with an independent Python reference

    自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

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