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Sandbox Physics
从量子涨落到宇宙纹理

被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化

Sandbox Physics ·

这一章把“冻结”的图像变成三句可以检验的话：暴胀就是共动 Hubble 半径缩小的时期；模式在波数等于 aHaH 时离开视界；离开之后，单场模型的曲率涨落保持不变。

比较两个长度

用随空间一起膨胀的共动坐标标记各点。这样，一个涨落的共动波数 kk 始终不变，而它的物理波长 2πa/k2\pi a/k 随尺度因子 aa 增长。

Hubble 长度 1/H1/H，是膨胀让两点以光速分开时的距离。比它近得多的两点，在一个膨胀时间内还能互通信号。再除以 aa，就得到共动 Hubble 半径 1/(aH)1/(aH)，用来衡量共动涨落。

于是问题归结为比较 kk 和 aHaH：k≫aHk\gg aH 时模式在视界内，k≪aHk\ll aH 时在视界外。

λphys=2πak,kaH≷1\lambda_{\mathrm{phys}}=\frac{2\pi a}{k},\qquad \frac{k}{aH}\gtrless 1
物理波长随 aa 增长；模式在视界内还是视界外，只看比值 k/(aH)k/(aH)。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

暴胀就是共动 Hubble 半径在缩小

因为 aH=a˙aH=\dot a，共动 Hubble 半径缩小，恰好等价于 a¨>0\ddot a>0。加速膨胀和 1/(aH)1/(aH) 缩小，说的是同一件事。

改用 e 倍数作时间会更清楚。引入 Hubble 慢滚参数 ϵ=−H˙/H2\epsilon=-\dot H/H^2，aHaH 每个 e 倍数的增长率就是 1−ϵ1-\epsilon。暴胀即 ϵ<1\epsilon<1，我们把 ϵ=1\epsilon=1 的时刻定为暴胀结束。在 Lab 的高原上，主尺度离开视界时 ϵ\epsilon 只有约 2×10−42\times10^{-4}。

ddt(1aH)=−a¨a˙2,dln⁡(aH)dN=1−ϵ\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{aH}\right)=-\frac{\ddot a}{\dot a^{2}},\qquad \frac{d\ln(aH)}{dN}=1-\epsilon
前一式把缩小和加速联系起来，后一式给出以 e 倍数计的变化率。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

数一数离开视界要几个 e 倍数

模式在 k=aHk=aH 时离开视界，两个模式离开的时间相差 ∫(1−ϵ) dN=ln⁡(k2/k1)\int(1-\epsilon)\,dN=\ln(k_2/k_1)。ϵ\epsilon 很小时，间隔的 e 倍数就是波数比的对数。

算例：Lab 跟踪 0.0020.002、0.010.01 和 0.05 Mpc−10.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 三个模式，预计间隔为 ln⁡5≈1.61\ln 5\approx1.61 和 ln⁡25≈3.22\ln 25\approx3.22 个 e 倍数。计算图中，三条点线分别在结束前约 58.258.2、56.656.6 和 55.055.0 个 e 倍数处，与预计一致。

要把模型和真实距离对上，还需要一个约定：k∗=0.05 Mpc−1k_*=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1} 离开视界时，暴胀还剩 N∗N_* 个 e 倍数。默认 N∗=55N_*=55。改变 N∗N_*，所有观测尺度都会沿着势能整体滑动。

三个算出的曲率模式在视界内缩小、离开视界后变平，旁边是不断增大的共动 Hubble 波数
自有计算：平滑 R2R^2 高原，N∗=55N_*=55。左或上：三个复模式函数的大小 ∣Rk∣|\mathcal{R}_k|，除以各自的最终值，点线标出 k=aHk=aH。右或下：以 Mpc−1\mathrm{Mpc}^{-1} 为单位的 aHaH 不断上升，固定波数保持水平，两线相交处就是该模式离开视界的时刻。这是模型输出，不是观测数据。 查看完整图像

对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

视界之内：幅度不断减小的波

在视界深处，引力在一个波长的范围里几乎不起作用。组合量 v=zRv=z\mathcal{R}（z=aϕ′z=a\phi'）这时就像一列自由波，幅度固定为 1/2k1/\sqrt{2k}。

由于 zz 几乎和 aa 一样增长，曲率涨落 ∣Rk∣|\mathcal{R}_k| 就按 1/a1/a 减小，每个 e 倍数缩小为原来的 1/e1/e。图中每个模式都从 k/aH=100k/aH=100 开始，之后 4.64.6 个 e 倍数里幅度缩小约 100100 倍，正如 e4.6≈100e^{4.6}\approx100 所预期。

对应阅读：Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

视界之外：涨落为什么保持不变

下一章的模式方程可以写成下面这种“通量守恒”的形式。一旦 k/aH≪1k/aH\ll1，右边可以忽略，于是 z2aH R′z^2aH\,\mathcal{R}' 是常数。

这样 R′∝1/(z2aH)\mathcal{R}'\propto1/(z^2aH)。代入 z2=2a2ϵz^2=2a^2\epsilon，在 HH 和 ϵ\epsilon 缓慢变化时，它按 e−3Ne^{-3N} 衰减。两个解中一个是常数，另一个几个 e 倍数内就消失了。剩下的常数就是冻结值。

这个结论依赖“只有一个场”。PDG 2025 指出，有多个场时，非绝热涨落可以让视界外的曲率扰动继续变化。

ddN(z2aH R′)=−(kaH)2z2aH R,z=aϕ′\frac{d}{dN}\left(z^{2}aH\,\mathcal{R}'\right)=-\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}z^{2}aH\,\mathcal{R},\qquad z=a\phi'
取约化 Planck 质量 Mpl=1M_{\mathrm{pl}}=1。视界外右边可以忽略，左边的通量保持不变。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

冻结不等于什么

冻结固定的是每个模式的幅度，而不是一个可以预言的具体数值。每个冻结下来的涨落，都是从量子态里随机抽出的一次结果。理论能预言它的方差，也就是功率谱 PR(k)\mathcal{P}_{\mathcal{R}}(k)。Lab 里的纹理图，就是这样的一次随机抽样。

暴胀结束后，模式会重新进入不断变大的视界，再次开始演化，变成微波背景里的声学图样和结构的种子。那一段演化需要转移函数，这里没有建模。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

练习与解释性答案

  1. 设 ϵ=0.01\epsilon=0.01 保持不变。两个模式的波数相差 2525 倍，它们离开视界相隔多少个 e 倍数？

    展开解释

    由离开条件得 (1−ϵ) ΔN=ln⁡25(1-\epsilon)\,\Delta N=\ln25，所以 ΔN=3.219/0.99≈3.25\Delta N=3.219/0.99\approx3.25。较小的 ϵ\epsilon 只把间隔拉长了百分之一。

  2. 积分器让每个模式从 k/aH=100k/aH=100 开始，到 k/aH=10−3k/aH=10^{-3} 时读数。在高原上，一个模式要走多少个 e 倍数？

    展开解释

    比值变化 10510^5 倍，所以 ΔN≈ln⁡105/(1−ϵ)≈11.5\Delta N\approx\ln10^5/(1-\epsilon)\approx11.5。计算量主要花在前一段，那时模式还在振荡。

  3. 在视界外，若 HH 和 ϵ\epsilon 不变，衰减部分 R′\mathcal{R}' 两个 e 倍数后缩小为原来的几分之几？

    展开解释

    R′∝e−3N\mathcal{R}'\propto e^{-3N}，所以缩小为 e−6≈2.5×10−3e^{-6}\approx2.5\times10^{-3}。几个 e 倍数之后，只剩下常数解。

动手检验预测

在 Lab 里读出离开视界的时刻

  1. 暂停 Lab，把时间滑块拖到 58.258.2。势能面板上，最长那个跟踪模式的虚线正好碰到小球。
  2. 继续拖到 5555。主尺度在这里离开视界，它在模式冻结图里的曲线大约两个 e 倍数内变平。
  3. 把“主尺度离开视界后的 e 倍数”从 5555 调到 4646，看所有离开线怎样沿势能滑动。

来源与计算范围

  1. Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

    核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

  2. Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)

    通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

  3. Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

    通读 v2。式1给出我们采用的 tanh 台阶；式6至19给出以 e 倍数为时间的模式方程与初值。我们的代码独立编写，台阶加在 Starobinsky 高原和二次势上，不只是原文的二次势情形。

  4. Original background and mode calculations with an independent Python reference

    自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

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