AC15 · 盘让行星换一条轨道

行星迁移、盘力矩与共振

什么让行星离开诞生的位置？ 行星通过螺旋波，以及在轨道附近转向的气体，与盘交换角动量。近圆轨道受到净负力矩通常内迁，净正力矩则可能外迁。彼此靠近的两颗行星还可能暂时进入共振；是否捕获，要追踪轨道角，不能只看周期比。

盘力矩改变行星轨道。调整扩散，比较内外迁移、暂时捕获与更晚的共振离开。

外行星波力矩（归一化） $-2.2$

外行星共转力矩（归一化） $1.5$

当前周期比 $2.00$

内行星半长轴 $0.873\,\mathrm{AU}$

让盘改变轨道

外行星质量

4

m_2\;[M_\oplus]

一天文单位处盘厚比

0.055

h_1=H/r

黏性扩散

-6

\log_{10}(\nu/[\mathrm{AU}^2/t_0])

温度梯度

0.5

\beta_T=-d\ln T/d\ln r

初始周期比

2.01

P_{2,0}/P_{1,0}

横向拖动青色行星可改变采用的质量。固定预设立即打开，其余设置重新积分。

画面与计算各表示什么

金色为内行星，青色为外行星；虚线圆标记初始半长轴。距离共用比例，行星大小与尾迹厚度放大。实线为当下的瞬时开普勒椭圆，积分中的行星仍彼此作用。力模型共面，因此使用俯视平面。淡色移动弧表示同一回放时刻的未扰动圆轨道气体；尾迹曲线表示线性波相位，两者均未计算演化后的气体密度图。

\Gamma=\Gamma_{\rm L}+\Gamma_{\rm C},\qquad \dot a\simeq \frac{2\Gamma}{m a\Omega}

力矩读数除以外行星当地的归一化尺度。外加盘可供给或带走能量和角动量；默认面密度尺度为每平方天文单位万分之一恒星质量，热扩散率为黏性的两倍。面密度斜率取二分之一，绝热指数一点四，拟合软化长度为零点四标高；行星相互引力不软化。停止边界详见实验说明。

捕获预设结束于初始内行星一万二千圈；更晚预设使用完全相同的物理参数，结束于五万圈。短弧有界或周期比接近整数，都不证明长期稳定。自定义运行按同一力律积分一万二千圈，再回放最后八圈；触及边界则明确停止。

读课程，并重建真实 Kepler-223 角度

模型假设

这是恒星与两颗有限质量行星的平面合成积分，外加不随时间演化、忽略自引力的气体盘。Paardekooper 2010v1／2011 二维扩散力矩拟合取软化长度为盘标高的零点四倍；三体相互引力不软化。绝热指数取一点四，面密度斜率零点五，普朗特数零点五。偏心率修正采用 Cresswell–Nelson 与 Fendyke–Nelson，并限于偏心率小于盘厚比的零点七倍。超出零点三五至三天文单位、大于零点二热质量、Toomre 参数低于二十或间距小于三个互希尔半径时停止。盘是外加的能量与角动量库，不是流体模拟。螺旋曲线只示意线性尾迹相位，亮度不代表气体密度；行星大小与尾迹厚度放大。固定预设由 REBOUND 5.2.2 IAS15 生成，自定义设置用 DOP853 积分同一组力。场景循环回放注明时刻的一段实际八圈合成记录，共用一条物理时钟。默认展示同参数五万圈后的位置，与诞生轨道有清楚分离；暂时捕获预设则展示一万二千圈的有限时间窗；仅凭角度图不推断寿命或逃逸机制。真实 Kepler-223 测时教程独立于这两颗教学行星。

轨道会迁移，也会暂时合拍

金色为内行星，青色为外行星。轨道图保留完整运行；角图只看后半窗，并扣去各自在该窗起点的角度；上方只回放注明时刻的一段八圈记录，两颗行星共用物理时钟。

轨道移到了哪里

a\;[\mathrm{AU}]

t/P_{1,0}

展开的临界角

\theta_i(t)-\theta_i(t_{\rm start})\;[{}^\circ]

t/P_{1,0}

$\theta_i=2\lambda_2-\lambda_1-\varpi_i$ · 固定记录先每半个初始内行星周期展开相位，再保存较疏图点。偏心率接近零时近心点角病态，不据此判捕获。有限窗有界只是一项暂时诊断，不是寿命证明。

先抓重点

核心问题: 净力矩何时换向，两颗行星又何时真的进入共振？
一句话直觉: 迁移源于角动量交换，共振捕获则要看角度动力学，不能只看近整数周期比。

核心数学模型

力矩改变近圆轨道

L=m\sqrt{GM_\star a},\qquad \dot a=\frac{2\Gamma}{m a\Omega}

后式适用于小偏心率，实际积分演化笛卡尔位置与速度。正力矩增加顺行角动量。

把尺度与正负分开

\Gamma_0=(q/h)^2\Sigma a^4\Omega^2,\qquad \Gamma=\Gamma_{\rm L}+\Gamma_{\rm C}

归一化尺度恒正，拟合系数决定方向；扩散改变共转贡献。

检验角度是否有界

\theta_i=2\lambda_2-\lambda_1-\varpi_i

足够密地展开相位，保留绕行圈数。有限记录中的有界弧只支持有限时间判断。

常见难点

二比一不是结论

容易误解周期比接近二就证明捕获。

正确理解在注明区间内追踪临界角与转折，并和绕圈情形比较。

盘也是交换对象

容易误解有盘拖曳时行星仍应各自守恒能量。

正确理解检验惯性三体系统时，应扣除积分得到的外力做功与力矩。

动手实验

01
暂时合拍
打开暂时捕获，读两个角轨迹的后半窗。
你会看到： 两角在注明区间内有界，但行星仍在迁移。
02
同参数，多等一会儿
打开更晚预设，与暂时捕获比较参数。
你会看到： 同参数在更晚时间出现绕行角；记录本身不确定逃逸机制。
03
改变扩散
比较外迁与饱和预设。
你会看到： 弱扩散压低非线性共转贡献，净力矩可能换向。

行星迁移、盘力矩与共振

轨道会迁移，也会暂时合拍

沿着角动量读盘

核心数学模型

力矩改变近圆轨道

把尺度与正负分开

检验角度是否有界

常见难点

二比一不是结论

盘也是交换对象

动手实验

暂时合拍

同参数，多等一会儿

改变扩散

相关实验与文章

从气体盘力矩走到共振时刻