共振捕获，要看角度怎样走

保留完整引力问题

恒星与两颗有限质量行星在惯性系中运动，每一对都使用不软化的平方反比引力。内行星初始半长轴为一天文单位，外行星质量是它两倍，初始偏心率都为零点零零一。近心点经度分别取零点二和一点二弧度，平近点角取零和二弧度。

有限行星质量也进入两体频率。外行星初始半长轴按下式保留有限质量修正。构造日心轨道根数以后，再把全部天体的位置和速度移到质心原点。

a_{2,0}=a_{1,0}\left[R_0^2\frac{M_\star+m_2}{M_\star+m_1}\right]^{1/3}

这固定了声明的初始瞬时周期比。后续相互作用下，它会振荡。

每一时刻先由日心位置与速度计算瞬时轨道根数，再取当地波与共转力矩。迁移加速度平行于相对速度，其系数选到恰好给出关于恒星的指定力矩；另加一项径向偏心率阻尼。

径向项关于恒星没有力矩，相对做功率不为正。偏心轨道上，平行速度项同时改变半长轴、能量和偏心率。这是明确的外力处方，不是流体求解。

\boldsymbol a_d=\frac{\Gamma}{m\ell}\boldsymbol v-\frac{2(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol v)}{r^2\tau_e}\boldsymbol r,\qquad \ell=(\boldsymbol r\times\boldsymbol v)_z

相对位置和速度以恒星为原点。正力矩增加顺行角动量。

\tau_{\rm wave}=\frac{h^4}{q(\Sigma a^2/M_\star)\Omega},\quad \tau_e=\frac{\tau_{\rm wave}}{0.780}\left[1-0.14(e/h)^2+0.06(e/h)^3\right]

共面阻尼律只在声明的偏心率边界内使用。

偏心运动会削弱连贯的马蹄响应。这里依 Fendyke 与 Nelson 原始研究，把圆轨道共转项乘以下方负指数。Izidoro 等式9虽描述衰减，却印了正指数；代码依原研究取衰减号。

波项另用 Cresswell–Nelson 偏心率修正。偏心率超过当地盘厚比的零点七倍时停止，不外推到高偏心率公式的变号区。还在半长轴超出零点三五至三天文单位、大于零点二热质量、Toomre 参数低于二十或接近三个互希尔半径时停止。

\Gamma_C(e)=\Gamma_C(0)\exp[-e/(0.5h+0.01)]

指数为负，偏心率增大时，此项逐渐减弱。

f_L(e)=\frac{1-[e/(2.02h)]^4}{1+[e/(2.25h)]^{1.2}+[e/(2.84h)]^6},\qquad \Gamma_L(e)=f_L(e)\Gamma_L(0)

这里只使用正文声明的小偏心率范围，形式上的高偏心率转折在本实验之外。

静态盘处于三体系统之外。盘力施加给行星，没有偷偷给恒星补一项等大反向加速度。三体系统的能量、角动量和线动量都可以改变。

能量核验要包含恒星在内的全部惯性速度，以及三对引力势，再扣除时间积分的盘做功。角动量核验也要使用惯性位置和外力矩；若只用日心力矩，就漏掉了移动原点的贡献。

\frac{dE_{\rm sys}}{dt}=\sum_i m_i\boldsymbol v_{i,\rm inertial}\cdot\boldsymbol a_{d,i},\qquad \frac{dL_{z,\rm sys}}{dt}=\sum_i m_i(\boldsymbol r_{i,\rm inertial}\times\boldsymbol a_{d,i})_z

数值检验检查扣除这些交换后的残差；无盘极限中外加交换应消失。

平经度记录绕行相位，近心点经度定位椭圆长轴。接近二比一时，把它们组合成两个临界角。只看周期比，会丢掉决定重复会合能否连贯作用的相位信息。

先按足够细的物理间隔展开角度，再丢弃样本以缩小图表。否则两帧间恰好绕了整数圈，会被误看成不动。固定记录每半个初始内行星周期追踪一次相位，默认与更晚案例另用更细间隔比较。偏心率很小时近心点病态，图改为模一圈样本，不给捕获结论。

\theta_1=2\lambda_2-\lambda_1-\varpi_1,\qquad\theta_2=2\lambda_2-\lambda_1-\varpi_2

有限范围内来回是天平动，不断完整绕行是循环。有限记录只支持有限窗的诊断。

默认盘与四地球质量外行星的一万二千周期记录，后半窗临界角宽度约十七点五度与十八点六度，两者都在该范围内反复转向。这里称它为注明窗口内的暂时捕获。

相同初态与物理参数延长至五万周期，两角不再有界；后半窗各绕约二十七圈。这是模型中离开的证据，却不是已经验证的逃逸机制。若要确定某种过稳定性或共振重叠，还需进一步受控实验。

结束时刻（初始内行星周期）	内半长轴（AU）	外半长轴（AU）	周期比
12000	0.971254	1.542251	2.000930
50000	0.873217	1.386660	2.001106

固定预设使用 REBOUND 5.2.2 IAS15，精度参数为十的负十次方；自定义浏览器运行用 DOP853，相对容差为二乘十的负十一次方，分量绝对尺度为十的负十四次方。独立短轨道比较不只检查半长轴，也检查相位。

公开材料保存实际容差与收敛结果。即使外加二维力矩方程解得准确，也可能遗漏真实气体盘的物理。合成双行星与实测诊断各自保留自己的初始条件和科学用途。