为什么扩散能让迁移换向

计算前先说清盘是什么

面密度随半径平方根的倒数下降；除换向预设外，温度采用幂律。压力标高由等温声速除以轨道角频率得到。物理绝热指数取一点四，普朗特数取二分之一，因此热扩散率是运动黏性的两倍。

换算温度时，平均分子量取二点三四，太阳引力参数取明确的 SI 值，天文单位取精确值。默认厚度在一天文单位对应约七百六十一开尔文。这是采用的局部气体模型，不是 Kepler-223 温度观测。

\Sigma\propto r^{-p},\quad T\propto r^{-\beta_T},\quad p=0.5,\quad h=\frac{c_s}{r\Omega},\quad \xi=\beta_T-(\gamma-1)p

熵梯度组合使用物理绝热指数，后面定义的有效指数描述另一部分响应。

在这里的梯度范围内，波系数通常为负。正压马蹄项依赖面密度斜率，熵相关项则依赖刚定义的温度与密度组合。两者都除以恒正的局部力矩尺度。

这些系数来自二维低质量拟合，软化长度为零点四个压力标高。它描述盘力标定，不会把恒星与行星之间的牛顿引力一并软化。

\frac{\Gamma_L}{\Gamma_0}=\frac{-2.5-1.7\beta_T+0.1p}{\gamma_{\rm eff}}

这是加入小偏心率修正之前的圆轨道波系数。

\frac{\Gamma_{\rm hs,baro}}{\Gamma_0}=\frac{1.1(1.5-p)}{\gamma_{\rm eff}},\qquad \frac{\Gamma_{\rm hs,ent}}{\Gamma_0}=\frac{7.9\xi}{\gamma_{\rm eff}^2}

未饱和马蹄项还要乘扩散权重，再加入强扩散极限的线性贡献，才得到最终共转力矩。

马蹄半宽是轨道半径的一小部分。横跨这个宽度的扩散，与气体再次遇到行星的时间竞争，无量纲饱和参数记录了这种竞争；参数大，表示马蹄区内扩散较弱。

黏性参数与热参数不仅扩散率不同，前面的系数也不同。把两者定义写成完全相同，会悄悄改变拟合。饱和函数在补充足够时接近一，在扩散很弱时趋近零。

x_s=1.1\gamma_{\rm eff}^{-1/4}\sqrt{q/h},\quad p_\nu=\frac23\sqrt{\frac{a^2\Omega x_s^3}{2\pi\nu}},\quad p_\chi=\sqrt{\frac{a^2\Omega x_s^3}{2\pi\chi}}

半宽无量纲，黏性与热扩散率的单位都是长度平方除以时间。

F(p)=\frac{1}{1+(p/1.3)^2}

这是原文式23的近似，不是式22的精确贝塞尔函数表达式。两项截止函数还负责恢复极强扩散下的线性响应。

D(p,t_0)=\begin{cases}\frac{16}{25}(\frac{45\pi}{4t_0})^{3/4}p^{3/2},&p<\sqrt{\frac{4t_0}{45\pi}}\\1-\frac9{25}(\frac{4t_0}{45\pi})^{4/3}p^{-8/3},&p\geq\sqrt{\frac{4t_0}{45\pi}}\end{cases}

马蹄截止函数取转折参数二，线性截止函数取七；此分段函数来自采用的四分之三次幂流线响应的解析积分。

\Gamma_{C,b}=\Gamma_{\rm hs,b}F_\nu G_\nu+(1-K_\nu)\Gamma_{\rm lin,b}

线性正压系数为零点七乘密度梯度组合，再除以有效指数。

\Gamma_{C,s}=\Gamma_{\rm hs,s}F_\nu F_\chi\sqrt{G_\nu G_\chi}+\sqrt{(1-K_\nu)(1-K_\chi)}\Gamma_{\rm lin,s}

熵相关线性系数由熵斜率乘下方系数得到，熵马蹄响应同时依赖热扩散与黏性。

\frac{\Gamma_{\rm lin,b}}{\Gamma_0}=\frac{0.7(1.5-p)}{\gamma_{\rm eff}},\qquad \frac{\Gamma_{\rm lin,s}}{\Gamma_0}=\frac{(2.2-1.4/\gamma_{\rm eff})\xi}{\gamma_{\rm eff}}

两个下标分别表示正压项与熵相关项，两者使用同一个恒正归一化尺度。

热扩散改变波感受到的有效可压缩性。扩散很弱时，有效指数趋近物理绝热值；扩散很快时趋近一。代码先把原式有理化，弱扩散极限便可绕开两个近似相等数的相减。

熵斜率仍用物理指数；有效指数出现在力矩系数与马蹄半宽里。某些设置下两个数很接近，并不意味着可以互换。

Q=\frac{2\chi}{3h^3a^2\Omega},\qquad \gamma_{\rm eff}\longrightarrow\begin{cases}\gamma,&Q\to0\\1,&Q\to\infty\end{cases}

这里的无量纲参数描述热扩散；引力稳定性另用 Toomre Q，两个量不可混淆。

\gamma_{\rm eff}=\frac{2\gamma Q}{\gamma Q+\tfrac12\sqrt{2\sqrt{(\gamma^2Q^2+1)^2-16Q^2(\gamma-1)}+2\gamma^2Q^2-2}}

这是原文的有效指数表达式；脚本在弱扩散处用代数等价的有理化形式，保留正确极限。

固定四个地球质量、一天文单位、盘厚比零点零五五、面密度斜率二分之一，并令偏心率为零。只改温度斜率与黏性，公开标准库脚本给出下表。

较陡温度梯度下，中等扩散的总力矩为正；扩散很弱时，非线性共转贡献被压低，总力矩重回负值。扩散极强又靠近较弱的线性响应，这里也为负。表格是局部计算，实际双行星会采样变化的半径与偏心率。

换向预设让温度斜率随半径平滑变化。若零点外侧力矩向内、内侧向外，局部总力矩的零点便可能有恢复作用。但两颗相互作用的行星，未必都能停在这个单行星零点。

此处方省略了依赖迁移历史的动力学力矩、三维浮力、行星光度反馈与盘演化。静态零点能停留多久，仍要检验这些额外响应。前沿导读会用辐射流体例子检验这些缺项。