从盘力矩推到轨道迁移

先定原点、正方向与单位

取太阳质量的恒星，以及共面顺行行星。正角动量指向纸外，正力矩增加这个分量。长度单位用天文单位，质量单位用恒星质量；引力常数设为一以后，时间单位便随之确定，不能再把它当一年。

一个代码时间单位约为零点一五九儒略年。一天文单位的初始近圆轨道，需要约两倍圆周率个代码时间单位，也就是一年。场景按初始内行星周期计时，后来周期变化不会偷偷重定义已经过去的时间。

t_0=\sqrt{\mathrm{AU}^3/(GM_\star)},\qquad \Omega(a)=\sqrt{GM_\star/a^3}

角频率单位是时间的倒数，力矩单位是质量乘长度平方再除以时间平方。

圆轨道速度由引力与向心加速度的平衡给出。把速度乘上轨道半径和行星质量，得到角动量。在质量不变时求导，再把导数等同于外加力矩。

角动量的相对变化只有半长轴相对变化的一半。负力矩对应负漂移率，轨道尺度随之减小。这一结论不要求额外假设一个向内的径向摩擦力。

L=m a^2\Omega=m\sqrt{GM_\star a},\qquad \Gamma=\dot L=\frac{L}{2a}\dot a

这里采用近圆轨道与恒星质量主导的势。

\dot a=\frac{2\Gamma}{m a\Omega},\qquad \tau_a=\frac{L}{2|\Gamma|}

漂移时间按定义取正，方向由漂移率的符号表达。

内迁的圆轨道束缚得更紧。对轨道能量求导，代入刚得到的漂移关系，做功率便等于角频率乘力矩。它同时检查单位和正负号。

完整积分还包含有限偏心率和行星相互作用，单颗行星的两体能量未必瞬时满足圆轨道关系。此时应检查整个惯性系统的能量，并计入盘外力做功。

E=-\frac{GM_\star m}{2a},\qquad \dot E=\Omega\Gamma

圆轨道关系提供一个解析极限，可用来独立检查笛卡尔积分。

质量比比较行星与恒星，盘厚比比较压力标高与半径。常用的力矩归一化恒为正，负责量纲尺度；波与共转系数负责净力矩的符号。

这里的面密度是单位面积质量，不是体密度。局部频率在行星的瞬时半长轴处计算。这是一项局部处方，用于缓慢演化、偏心率较低的轨道。

q=\frac{m}{M_\star},\quad h=\frac{H}{a},\quad \Gamma_0=\left(\frac{q}{h}\right)^2\Sigma a^4\Omega^2,\quad \Gamma=C\Gamma_0

盘固定时，力矩尺度正比于行星质量平方，圆轨道漂移率则正比于行星质量。

取外行星四个地球质量，恒星一个太阳质量，盘厚比零点零五五，面密度尺度万分之一，温度斜率零点五，代码单位下黏性为百万分之一。这个局部例子先令偏心率为零。

总力矩系数约为负零点六二三。下表由这些量直接代入得到，公开脚本可以复算。它是一天文单位处的局部模型结果，不是测得的迁移速度，也不是共振双行星最后的漂移率。

当地每年约内移百万分之三天文单位。用一天文单位除以该速率，得到约三十二万一千年的局部迁移时间；偏心率阻尼时间短得多，约一千五百五十四年。完整双行星还会在迁移中交换引力踢动。

\dot a=2C\frac{q\Sigma a^3\Omega}{h^2M_\star}

若要换成年漂移率，必须再使用前面给出的时间单位。

小行星近似仍有效时，质量加倍，局部漂移也加倍；它不授权我们把同一公式用于开深缝的巨行星。盘增厚会减小力矩尺度，也会改变扩散响应，固定系数不变只是另一项受控思想实验。

Lab 用平面尾迹对应平面模型，线条厚度放大、视觉权重相同。不要从亮度读出气体面密度；曲线只用于显示有明确物理定义的波相位。