M076 · 运动中的平衡

拉格朗日点与三体通道

在两颗绕转的天体间放置无质量探测器。从拉格朗日点附近释放，打开零速度通道，再切换旋转与惯性坐标，看同一条轨迹怎样改变。

模型时刻 $\text{Ready}$

雅可比常数 $\text{Ready}$

雅可比常数绝对漂移 $\text{Ready}$

内侧通道 $\text{Ready}$

三角点线性稳定性 $\text{Ready}$

轨迹边界 $\text{Ready}$

PLACE / RELEASE / COMPARE

改变起点，跟随引力。

次天体质量分数

\mu

0.01\,

初始水平位置

x_0

0.51\,

初始横向位置

y_0

0.87\,

初始水平速度

v_{x,0}

0.00\,

初始横向速度

v_{y,0}

0.00\,

使用半步长

b_h

0.00\,

圆轨道双主星、平面无质量探测器。间距、总质量、引力常数与角速度均归一；主星一圈为二倍圆周率个时间单位。质心坐标中，水平轴指向次天体，横向轴补成右手平面。初态控制始终采用旋转坐标。

四阶 Runge–Kutta，步长 0.004 或 0.002。在任何计算阶段进入 0.06 单位排除球之前、距质心超过六或时长三十时停止。排除球与天体标记为示意尺寸，不是物理半径。不延拓碰撞，不保证近距离遭遇精度。

下方旋转坐标图按初始雅可比常数标出禁入区。通道开放只表示允许通过，并不保证穿越。三角点稳定性采用平面线性判据，不认证任意有限振幅轨道。不含晕轨道、驻留控制或星历模型。

金色手柄编辑起点，绿色手柄编辑旋转坐标初速度，显示倍率固定为每速度单位 0.4 长度单位。手柄仅在时刻零出现。轨迹、边界与导出共用同一数值记录。

平面圆型限制性三体模型；不模拟晕轨道，不作任务导航。

先抓重点

核心问题: 一个看似静止的点，为什么稳定或不稳定？
一句话直觉: 通道开放表示允许，不是轨迹预言。

核心数学模型

旋转坐标加速度

\ddot x-2\dot y=\partial_x\Omega,\quad\ddot y+2\dot x=\partial_y\Omega

科里奥利项与速度有关。

有效势函数

\Omega=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}

两颗主星在此旋转坐标中位置固定。

允许运动区域

C=2\Omega-\dot x^2-\dot y^2,\quad 2\Omega\geq C

禁入区将要求速度平方为负。

三角点判据

27\mu(1-\mu)<1

这是平面线性稳定性，不是全局轨道保证。

常见难点

模型的边界

容易误解拉格朗日点处没有引力。

正确理解引力提供绕行加速度，离心平衡出现在旋转坐标中。

动手实验

01
放置探测器
拖动金色起点与绿色速度手柄。
应该观察到： 雅可比常数与禁入区同时改变。
02
释放平衡附近初态
比较三角点与鞍点预设。
应该观察到： 附近初态可以保持接近，也可以迅速离开。
03
切换坐标
暂停，切换坐标，再回放。
应该观察到： 同一记录的轨迹，呈现不同形状。