轻星送出物质，轨道为什么反而张开

把两颗星携带的角动量加起来

先做最干净的圆轨道模型：两颗星用点质量代表，暂不计算自转、盘中储存的角动量和其他外力矩。每颗星到共同质心的距离不同，轻星离得更远。把两颗星的轨道角动量相加，得到一个同时含质量分配与间距的量。

M=M_d+M_a,\qquad J_o=M_dM_a\sqrt{Ga\over M}

总质量记为

M

，间距为

a

。供体与受体的下标沿用上一章。

d\ln a=2\,d\ln J_o-2\,d\ln M_d-2\,d\ln M_a+d\ln M

这是同一个圆轨道关系的对数微分。质量和角动量的变化给定后，间距响应就随之确定；不用再凭“引力更强”来猜。

这里已经包含重要的物理选择。如果盘或自转暂时存下了显著角动量，轨道角动量就不能擅自视为不变。相反，若声明这些储存与交换都可忽略，下面的保守计算就有清楚的用途。

令 $x>0$ 表示从供体移走、又全部交给受体的质量。于是 $M_d=M_{d0}-x$ 、 $M_a=M_{a0}+x$ ，总质量与轨道角动量都保持不变。积分上式，可以直接比较前后间距。

{a\over a_0}=\left({M_{d0}M_{a0}\over M_dM_a}\right)^2,\qquad {d\ln a\over dx}={2\over M_d}-{2\over M_a}

供体较重时导数为负；供体较轻时导数为正。质量相等的地方是转折，不是动画中任意选定的一帧。

例如最初两颗星分别为 $3M_odot$ 和 $2M_odot$ 。移走 $0.5M_odot$ 以后，两颗星都为 $2.5M_odot$ ，质量乘积最大，因此轨道最紧。

{a_{\min}\over a_0}=\left({3\times2\over2.5\times2.5}\right)^2=0.9216,\qquad {P_{\min}\over P_0}=0.9216^{3/2}=0.884736

周期关系来自开普勒定律，并利用了总质量不变。这个解析例子移走了初始供体约六分之一的质量，超出交互场景所展示的局部8%区间；它不是完整恒星演化轨迹。

图中横轴一律是移除量相对初始供体质量的比例。不同最初质量比给出不同趋势，即使每一条都没有物质逃出体系。轻星送给重星时，质量乘积变小，维持相同轨道角动量就要求间距增大。

若受体只留住比例 $b$ ，剩下的物质离开双星，质量变化应写成三笔：供体减少 $x$ ，受体增加 $bx$ ，体系外增加 $(1-b)x$ 。最后一笔虽然不再属于双星，却不能从收支中消失。

dJ_o=-j_{\rm esc}(1-b)\,dx,\qquad j_{\rm esc}=\gamma{J_o\over M}

规定逃逸物质的比角动量。只有这个特定定义下，常数gamma才表示总轨道角动量除以总质量的倍数。

{J_o\over J_{o0}}=\left({M\over M_0}\right)^\gamma,\qquad {a\over a_0}=\left({M\over M_0}\right)^{2\gamma+1}\left({M_{d0}M_{a0}\over M_dM_a}\right)^2

假设

b

和这个定义下的

gamma

都不随移除量改变。轨道与外逃物质共同携带最初的角动量。

相同的失质量比例，也可能给出不同间距：带走较多比角动量的流失，会更强地拉低剩余轨道角动量。它与质量重新分配造成的张开或收缩竞争。决定轨道还需要这部分物质携带的比角动量。

各向同性流失仍会携带发射星本来具有的轨道运动。供体风与“气体先到受体附近、再各向同性发射”因此不同。用到质心的杠杆臂计算，二者在同一比角动量定义下分别给出：

\gamma_{\rm donor}={M_a\over M_d}={1\over q},\qquad\gamma_{\rm reemission}={M_d\over M_a}=q

这些gamma会随质量比改变，不能拿最初数值当成整个过程的常数。

完全不捕获的缓慢供体风有 $b=0$ 。把供体杠杆臂代回微分关系，得到 $dln a=-dln M$ ，也就是下面的极限。

aM=a_0M_0

这是缓慢、各向同性、可维持近圆轨道的风极限。瞬间爆发的失质量可能改变偏心率，不能沿用这条缓慢轨道响应。

MESA的固定jdot_ml_check原生算例还把供体风、受体再发射和环流失混合起来。阅读它时，要连同各自的比角动量定义一起抄写；环半径或环的杠杆臂参数，并不自动等于这里的gamma。这里用独立ODE比较该原生算例的数学关系。恒星结构求解与整套MESA演化属于另外的计算层次。

E_{\rm orb}=-{GM_dM_a\over2a}

把前面得到的质量与间距代入，可以记录轨道能变化。它是诊断量，不是包含恒星、气体、热和辐射的总能量。

即使采用保守转移，质量与轨道角动量都没有流到外面，轨道能也一般会变。真实体系中的自转、吸积、热和辐射提供了需要进一步处理的能量交换。本章只把指定的质量与角动量收支变成圆轨道响应，不借此声称气体能量已经解决。

同样，横轴“移除了多少质量”还没有时钟。要把它变成每年的转移率，需要额外观测或一个转移模型。后面的渐台二教程会用历史周期增长来做一个有条件的速率推算，而不是从流线回放快慢读出答案。