物质转移什么时候会越流越满

把“装得更满”写成一个微小变化

从刚好接近临界面的供体拿走很少一点质量。先不猜它会不会失稳，只比较前后：恒星半径相对瓣半径的比例，是增大还是减小？同样的恒星膨胀，遇到张得更快的瓣时可以缓和溢出，遇到收缩的瓣时却会加重溢出。

\zeta_*={d\ln R_d\over d\ln M_d},\qquad\zeta_L={d\ln R_L\over d\ln M_d},\qquad d\ln{R_d\over R_L}=(\zeta_*-\zeta_L)d\ln M_d

两个响应必须对应同一次质量损失、同一套轨道角动量处方。星号代表所选时标下的恒星响应。

供体正在失质量，因此 $dln M_d<0$ 。若 $zeta_*>zeta_L$ ，过填的微分为负，局部趋向脱离；若 $zeta_*<zeta_L$ ，过填增长。这个负号值得停下来检查：较大的响应指数，不意味着失质量时半径一定变得更大。

把 $R_L=af(q)$ 代入，再使用上一章的质量与角动量收支，得到：

\zeta_L=2(bq-1)+(1-b)(2\gamma+1){q\over1+q}+(1+bq){d\ln f\over d\ln q}

前两项来自轨道间距，最后一项来自瓣在当前间距中的形状。供体风与受体再发射采用当前杠杆臂对应的gamma，随质量比一起更新。

对应阅读：Soberman, Phinney & van den Heuvel (1997), astro-ph/9703016v1

一颗恒星有不止一种半径响应

失质量很快时，恒星来不及通过辐射和对流重建热平衡。此时可以考察近似保持各层熵分布的绝热响应。若变化慢到足以热调整，再比较热平衡结构的响应。两者回答的是不同的“给它多久调整”问题。

一个无核、完全对流的 $n=3/2$ 多方模型给出 $R_dpropto M_d^{-1/3}$ ，所以 $zeta_{ m ad}=-1/3$ ：失质量反而膨胀。这是一个明确模型的结果，不是所有有核巨星的通用指数。真实熵分层、核质量和演化阶段都会改变响应。

还可以选一组教学假设，让 $zeta_{ m ad}=4$ 、 $zeta_{ m eq}=0.8$ 。若同一个瓣响应落在二者之间，快速失质量减轻过填，热平衡调整却倾向再把它填满。这里区分了动力学响应和热平衡响应；具体时标还要由额外的恒星与转移物理确定。

对应阅读：Soberman, Phinney & van den Heuvel (1997), astro-ph/9703016v1

半径很准，导数仍可能翻转结论

这里需要瓣半径随质量比变化的导数。平滑半径拟合误差不到百分之一，并不保证导数也有同样的误差界。尤其在两个响应几乎相等时，小小的导数偏差就足以改变反馈符号。

在无核对流模型和保守转移的条件下，直接对三维临界体积求导，局部中性质量比约为 $0.630686$ ；改用Eggleton拟合的导数，得到约 $0.633980$ 。这两者都是给定局部模型下的阈值，不能外推为所有双星的临界质量比。

取两者之间的 $q=0.6323329$ ，再移除初始供体质量的万分之一。独立旋转角网格的有限体积比较给出过填相对增加约 $3.45 imes10^{-7}$ ；同一次移除若用半径拟合，反而得到减少约 $3.67 imes10^{-7}$ 。失败的拟合结果要留下来，才看得见问题出在导数，而不是用许多远离阈值的成功案例把它冲淡。

另一例在等质量时，给定 $zeta_*=0.460$ 也会翻转符号。交互模型因此对每个实际质量比直接积分、细化体积导数，并把数值细化区间和拟合偏差分开记录；落在它们围成的近阈值区域时，保留“不分类”。这些数值构成有限浮点证据；连续问题的严格误差界仍需另作证明。

对应阅读：Eggleton (1983), Approximations to the radii of Roche lobes · Soberman, Phinney & van den Heuvel (1997), astro-ph/9703016v1

用一份原生巨星结构记重力账

把局部反馈推进到公共包层问题，需要更多输入。先选一份原生恒星剖面，知道每个包围质量对应的半径，再定义哪里算核心。这里只取供体自身的包层重力项，定义为要克服的正成本：

E_g=\int_{M_c}^{M_d}{Gm\over r(m)}\,dm={GM_d(M_d-M_c)\over\lambda_gR_d}

lambda在这里是对这份剖面、这条核心定义的重力积分的重写，不是一个放诸所有巨星的常数。内部能、复合能及伴星与包层的引力项尚未加入。

以具名的4倍太阳质量MESA学校模型为例，固定采用最后一个氢质量分数低于 $0.01$ 的原生区。第2222区实际为 $0.0092680$ ，核心质量约 $0.482218M_odot$ ；相邻第2221区已为 $0.0100294$ 。两区质量相差约 $1.97 imes10^{-4}M_odot$ 。这说明“切在哪里”有独立的离散定义，不能把很小的积分残差当成核心边界的精度。

这份切法给出 $R_csimeq0.07614R_odot$ 、 $E_gsimeq2.776 imes10^{48},mathrm{erg}$ 和 $lambda_gsimeq0.4545$ 。换氢阈值，重力成本就会变。另一份15倍太阳质量学校剖面也可以同法计算，但两颗星的演化状态不同，差异不能单独解释成质量趋势。它们都没有提供这里所需的内部能列。

对应阅读：Thoul & Chidester (2022), MESA Summer School; Zenodo 7082536 · Jared Goldberg (2025), MESA School Leuven Friday model · Ivanova et al. (2013), Common envelope evolution; arXiv:1209.4302v2

能量终态还要通过两种几何检查

给定紧致伴星质量 $1.4M_odot$ ，假设原巨星最初装满瓣，并指定轨道释放能量中比例 $alpha_{ m CE}$ 用于支付上面的重力成本。初态轨道能用完整供体质量，终态则用核心质量：

E_g=\alpha_{\rm CE}\left({GM_cM_a\over2a_f}-{GM_dM_a\over2a_i}\right),\qquad a_f=\left[{M_d\over M_ca_i}+{2E_g\over\alpha_{\rm CE}GM_cM_a}\right]^{-1}

右边括号是正的轨道能释放。没有分配给重力成本的部分，不能直接命名为辐射或抛射动能。

自算条件终态间距对能量比例的变化，分别标出直接接触和核的Roche容纳边界 — 根据具名4倍太阳质量原生剖面自算。红色点线是给定半径的接触边界，灰色虚线是核的Roche容纳边界；不同交点代表不同几何失败，不是合并概率。 Thoul & Chidester 2022 · CC BY 4.0

直接Roche体积给出本例初始间距约 $89.24R_odot$ 。比例从一降到二分之一、四分之一、十分之一，条件终态间距依次约为 $0.4423,;0.2258,;0.1141,;0.04593;R_odot$ 。这些是能量方程的终态解，不是沿途的气体演化。

若给伴星半径 $2 imes10^{-5}R_odot$ ，十分之一能量比例的解中，两个给定表面直接重叠。二分之一和四分之一的解没有直接重叠，但核心仍装不进自己的终态Roche瓣。一的解能容纳这两个给定半径。这三种几何情况必须分开，不能一概写成“已经合并”或“必然存活”。

还有一个物理悬念：从原巨星剖面切出的核心半径，并不是已经求出热调整后的遗骸半径。标量能量方程也没有解压力、激波、气体输运与辐射。接下来读流体模拟时，应该带着这些具体问题去看气体和能量如何分配，而不是把这里接近机器精度的等式残差当成流体预测精度。

对应阅读：Ivanova et al. (2013), Common envelope evolution; arXiv:1209.4302v2 · Thoul & Chidester (2022), MESA Summer School; Zenodo 7082536

物质转移什么时候会越流越满

把“装得更满”写成一个微小变化

一颗恒星有不止一种半径响应

半径很准，导数仍可能翻转结论

用一份原生巨星结构记重力账

能量终态还要通过两种几何检查

练习与解释性答案

动手检验预测

先保留分界，再检查终态

来源与计算范围