两颗恒星之间的窄口在哪里

跟着双星一起转

在惯性坐标系里，两颗星一直移动。为了研究某一时刻气体能否仍单独围住供体，换到与圆轨道一起转的坐标系：两颗点质量固定在横轴上，绕它们转的气体仍然可以运动。这个换法只是让背景简洁，并没有把气体固定住。

取供体质量为 $M_d$ 、受体质量为 $M_a$ ，两星中心间距为 $a$ 。横轴从供体指向受体，纵轴沿轨道平面，垂直轴沿轨道角动量，构成右手系。原点放在共同质心，不能随手放在两星几何中点；只有等质量时两者才重合。

q={M_d\over M_a},\quad \mu={M_a\over M_d+M_a}={1\over1+q},\quad x_d=-\mu,\quad x_a=1-\mu

这里的坐标已经除以间距。供体在左，受体在右；质量比始终是供体除以受体。

再把总质量和引力常数也归一化。于是 $G=M_d+M_a=a=1$ ，圆轨道角频率同样为一。若恢复物理量，要使用 $Omega^2=G(M_d+M_a)/a^3$ 。这些单位描述当前的冻结轨道。质量移除量只有在另给转移率之后，才对应经过时间。

静止在共转画面里的小气团，受到两颗星的引力；旋转坐标还带来离心项。两颗质量越近，引力项变化越陡。离心项则取决于到旋转轴的距离：沿垂直轴走远，没有增加到旋转轴的距离，因此不能凭对称感再添一个垂直方向的离心项。

\mathcal U={1-\mu\over r_d}+{\mu\over r_a}+{x^2+y^2\over2}

定义

r_d^2=(x+mu)^2+y^2+z^2

、

r_a^2=(x-1+mu)^2+y^2+z^2

。这里采用正的引力项，

mathcal U

是通常Roche势的负值。

\ddot x=\partial_x\mathcal U+2\dot y,\qquad\ddot y=\partial_y\mathcal U-2\dot x,\qquad\ddot z=\partial_z\mathcal U

运动气团还受到科里奥利项。找到静止点时速度为零；真正积分流线时，就不能把这些速度项删掉。

符号看似只是约定，受力却不能跟着含混。这里势的梯度直接进入加速度；若改用负的物理有效势，加速度就要取它的负梯度。只把势改号、仍沿原来的梯度推粒子，会得到完全不同的路线。

0=x-{(1-\mu)(x+\mu)\over|x+\mu|^3}-{\mu(x-1+\mu)\over|x-1+\mu|^3}

在

-mu<x<1-mu

之间求根，就得到内侧静止点。等质量时根在原点，但这只是力恰好抵消的位置，不是一个能让气体安稳堆积的盆底。

经过这个点的等势面，在供体一侧围成一个三维、带尖端的瓣。可以量供体中心到尖端的距离，也可以问：如果把整个瓣的体积换成一个球，这个球有多大？后一个问题定义体积半径，前一个问题只量了一个方向。

V_L={1\over3}\int r(\boldsymbol n)^3\,d\Omega,\qquad R_L=\left({3V_L\over4\pi}\right)^{1/3}

沿每个方向从供体中心找到第一次碰到临界面的距离，再积出体积。选择第一次相交，才能保留与供体相连的瓣，而不是另一侧的区域。

等质量时，窄口距离为 $0.500a$ ，三维体积半径却约为 $0.380a$ 。图中虚线是这个等体积球的投影，不是说圆的面积等于瓣的平面截面积。临界面离开轨道平面的形状，也参与了体积积分。

Eggleton的平滑公式近似的是这个体积半径。它既不是尖端距离，也不是沿所有方向都成立的恒星表面半径。多算几位小数可以精确求出这条近似公式；公式自身的偏差，则要与直接的临界体积积分比较。

现在固定两颗星的质量、间距与角频率，在窄口附近释放探针。它的初始速度和横向位置会改变弯曲路线。科里奥利项改变速度方向，却不直接对探针做功；固定势中相应的Jacobi常数可以检验积分漂移。

C_J=2\mathcal U-(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)

这个常数只适用于所声明的固定圆轨道问题。恒星的质量、轨道和气体相互作用开始演化后，需要为整个体系重新处理能量交换。

路线在给定伴星表面结束，是几何上的碰撞条件；它没有解决撞击后的激波和热。若路线暂时绕过伴星，也还没有证明形成了稳定吸积盘。压强、碰撞、自引力和辐射都不在这颗探针里。正因如此，它的回放时钟要与指定的质量移除量分开。