M076 · 运动中的平衡

拉格朗日点与三体通道

探测器能量够从一颗天体附近跑到另一颗附近，就一定会过去吗？ 不一定。探测器能量够高时，它到不了的禁区会在两片区域之间让出一条窄颈，这只说明可以过去。到底过不过，要看它完整的轨迹往哪里走。

在两颗互相绕转的天体附近放一个无质量探测器。从拉格朗日点附近出发，打开零速度边界上的窄口，再在旋转坐标和惯性坐标之间切换，看同一条轨迹的样子怎样变。

模型时刻 $\text{Ready}$

雅可比常数 $\text{Ready}$

雅可比常数绝对漂移 $\text{Ready}$

内侧通道 $\text{Ready}$

三角点线性稳定性 $\text{Ready}$

轨迹边界 $\text{Ready}$

设好初始状态，再释放

改变初始状态，看引力怎样带动它们运动

次天体质量分数

\mu

0.01\,

初始水平位置

x_0

0.51\,

初始横向位置

y_0

0.87\,

初始水平速度

v_{x,0}

0.00\,

初始横向速度

v_{y,0}

0.00\,

使用半步长

b_h

0.00\,

两颗主星沿圆轨道运动，无质量探测器在同一平面内。两星间距、总质量、引力常数和角速度都取一，主星转一圈要二倍圆周率个时间单位。坐标原点在质心，水平轴指向次天体，横向轴与它构成右手平面。所有初始量都在旋转坐标系里设定。

轨道用四阶 Runge–Kutta 积分，步长 0.004 或 0.002。时间到三十就停止；任何一个计算阶段要进入 0.06 单位的排除球，或离质心超过六时，也会提前停止。排除球和天体标记只是示意尺寸，不是物理半径。碰撞后不再继续计算，也不保证近距离遭遇的精度。

下方的旋转坐标图按初始雅可比常数，把探测器去不了的区域涂上阴影。通道打开只表示可以通过，并不保证一定穿越。三角点的稳定性按平面线性判据判断，不能为任意有限振幅的轨道作保证。模型不含晕轨道、位置保持和星历。

拖金色手柄设定起点，拖绿色手柄设定旋转坐标系里的初速度；绿色箭头按每单位速度 0.4 个长度单位的固定比例画出。两个手柄只在时刻零出现。轨迹、边界和导出数据都来自同一份数值记录。

模型假设

采用平面圆型限制性三体模型。不计算晕轨道，也不能用于航天任务导航。

先抓重点

核心问题: 为什么有的拉格朗日点稳定，有的不稳定？
一句话直觉: 通道打开，只说明探测器可以通过，不代表它一定会通过。

核心数学模型

旋转坐标系中的运动方程

\ddot x-2\dot y=\partial_x\Omega,\quad\ddot y+2\dot x=\partial_y\Omega

科里奥利项取决于探测器的速度。

有效势函数

\Omega=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}

在这个旋转坐标系里，两颗主天体的位置固定不动。

探测器能到达的区域

C=2\Omega-\dot x^2-\dot y^2,\quad 2\Omega\geq C

要进入禁入区，速度的平方就得是负数，这不可能。

三角点的稳定条件

27\mu(1-\mu)<1

这只是平面内的线性稳定性判据，管不了偏离较远的轨道。

常见难点

拉格朗日点上的引力

容易误解拉格朗日点处没有引力。

正确理解引力并没有消失，它提供绕行所需的加速度。和离心力的平衡，只在旋转坐标系里才出现。

动手实验

01
放置探测器
拖动金色起点与绿色速度手柄。
你会看到： 雅可比常数与禁入区同时改变。
02
在平衡点附近释放
比较“三角点附近”和“扰动鞍点”两个预设。
你会看到： 从平衡点附近出发，探测器可能一直待在旁边，也可能很快离开。
03
切换坐标
暂停，切换坐标，再回放。
你会看到： 同一条记录下来的轨迹，在两个坐标系里形状不同。

先抓重点

核心问题: 少送出一点质量，能帮助供体缩回去吗？
一句话直觉: 在同一套质量与角动量收支下比较恒星和瓣的半径导数，再把局部结论与公共包层命运分开。

核心数学模型

轨道角动量

J_o=M_dM_a\sqrt{Ga\over M_d+M_a}

圆轨道、点质量关系把质量账本、流失角动量与间距连起来。轨道能并不是守恒的恒星总能量。

局部过填检验

d\ln(R_d/R_L)=(\zeta_*-\zeta_L)d\ln M_d

供体失去质量，右边最后一个微分为负。恒星半径响应大于瓣响应时，过填局部减小；接近拟合或数值阈值时不分类。

条件包层终态

E_g=\alpha_{\rm CE}\left({GM_cM_a\over2a_f}-{GM_dM_a\over2a_i}\right)

这里只包括原生包层重力项。随后还要用核切点与伴星的给定半径，分别检查直接重叠和各自的Roche瓣容纳条件。

常见难点

半径拟合也会判错阈值两侧

容易误解半径拟合误差不到百分之一，响应导数就一定可靠。

正确理解导数误差能翻转近中性检验。保留的保守多方模型反例正是如此，因此本模式直接求体积导数，并拒绝近阈值分类。

能量方程不是公共包层流体解

容易误解算出终态间距，就预测了抛射、存活和合并概率。

正确理解标量账本缺少压力、激波、输运和松弛遗骸半径。给定半径的几何检验是条件判断，不是流体命运。

动手实验

01
让闭合星面缩小
暂停轻星预设，把金色星面手柄向内拖。
你会看到： 计算星面退回窄口以内。剩下的人为发射无质量探针，并不代表持续溢出。
02
比较快慢两种半径响应
选择快慢两种响应预设，比较轨道下方的快速与热平衡响应。
你会看到： 两个给定的恒星指数可以落在同一个瓣响应的两侧，但这个区别本身不给出转移时标。
03
少用一些轨道释放能量
选择紧密双星预设，把能量比例从一逐渐降到十分之一。
你会看到： 能量终态的间距缩小。对这份原生4倍太阳质量核切点，装不进瓣先于直接表面重叠出现；两者都不是算出的合并事件。

拉格朗日点与三体通道