光学 101 · 增益还是吸收

三种跃迁与受激辐射

原子是吸收共振光还是把它放大，由什么决定？ 看哪个能级上的原子多。下能级的原子吸收共振光，上能级的原子受它激发，发出相干的光子副本。下能级多，吸收占上风；上能级多，光就被放大。自发辐射则随时随机发生，有没有光场都一样。

一个脉冲刚把气室里大部分原子激发上去，探测光就穿过气室。看光束先变强、随原子衰减又变弱，并逐个数出吸收、受激和自发辐射的光子。

制备刚结束时的探测光增益 $\text{—}$

增益转为吸收的时刻 $\text{—}$

起始时刻出射光的相位延迟 $\text{—}$

标记原子：受激 / 吸收事件数 $\text{—}$

记录末尾的探测光增益 $\text{—}$

标记原子：自发辐射事件数 $\text{—}$

系综期望：受激 / 吸收 / 自发 $\text{—}$

弱探测光下的转折时刻（解析） $\text{—}$

记录末尾的上能级比例（气室平均） $\text{—}$

入口处的稳态上能级比例（解析） $\text{—}$

吸收气室的稳态增益（解析） $\text{—}$

洛伦兹线形因子 $\text{—}$

全部原子在下能级时的线中心光学厚度 $\text{—}$

原子记账残差 $\text{—}$

制备后记录的时长 $\text{—}$

光学 101

原子是吸收共振光还是把它放大，由什么决定？

制备脉冲留下的上能级比例

p_0

0.9

探测光强与饱和光强之比

I/I_{\rm sat}

0.4

能级间隔减探测光子能量（以半线宽计）

\delta

0

气室长度

L

5\,\mathrm{cm}

全部原子在下能级时的线中心吸收系数

\alpha_0

0.4\,\mathrm{cm^{-1}}

标记原子的随机种子

s

7

每个预设都从制备脉冲起记录五个寿命。记录只计算一次，回放不会再添光子或事件。

原子是两能级系统，上下能级简并度相同，谱线是一条均匀展宽的洛伦兹线。模型取速率方程极限：退相干远快于自发衰减，原子极化跟着光场走，不含相干的拉比振荡。零时刻由一个短制备脉冲设定上能级比例。脉冲怎样把原子送上去不在模型之内：共振的相干脉冲可以做到，连续照射两能级的非相干光做不到。时间以自发辐射寿命为单位。探测光以固定光强入射，沿气室分成 64 段计算。每一段里，光强按当地的粒子数差指数增长或衰减，段内原子感受到的是该段的平均光强，所以光束得到的光子数正好等于受激事件减去吸收事件。吸收和受激辐射对每个原子共用同一个速率，由当地光强和洛伦兹线形因子决定。自发辐射射向所有方向和模式，落入探测光模式的那一小部分忽略不计。相位延迟来自同一个洛伦兹极化率，等于负的一半能级失谐乘以透过率的自然对数。120 个标记原子是按所选种子随机抽取的样本。每个原子按所在段的系综速率演化，事件逐个计数；系综记录与种子无关。模型不含多普勒展宽、超精细结构、辐射囚禁、子能级之间的光抽运、光束衍射和探测光的传播时间。波长、画出的原子和光子标记都是示意。画出的波幅按透过率的平方根变化，高于入射的 e 倍或低于十分之一时截断。

物理教程

看气体从放大光变成吸收光

背景两能级原子面对频率等于跃迁频率的光，能做三件事：吸收一个光子；被一个光子激发，放出一个副本；或者自己放出一个光子。Einstein 在 1916 年指出，物质要和热辐射达到平衡，三种过程缺一不可。

为什么值得理解气体是让光束变亮还是变暗，取决于前两种过程谁更快。记录跟踪一束探测光穿过气室：室里的原子开始时大多处在激发态，随后逐渐衰减。

先抓重点

核心问题: 什么时候，光束从受激辐射得到的光子会多于被吸收掉的？
一句话直觉: 吸收和受激辐射对每个原子的速率相同，所以只要上能级的原子比下能级多，光束就会变强。放出受激光子的原子偶极子本身由探测光驱动，所以这个光子加入探测光的同一个模式，频率、相位和偏振都相同。

核心数学模型

三种过程，共用一个速率

\frac{dn}{dt}=W(1-n)-W\,n-\frac{n}{\tau}

n 是上能级比例，W 是每个原子的受激速率，由当地探测光强和线形决定，tau 是自发辐射寿命。两个能级简并度相同，所以吸收和受激辐射共用同一个 W。

受激速率

W\tau=\frac{\ell(\delta)}{2}\,\frac{I}{I_{\rm sat}},\qquad \ell(\delta)=\frac{1}{1+\delta^{2}}

delta 是能级间隔减光子能量，以半线宽为单位。能级间隔偏离光子能量，速率就沿着洛伦兹线形下降。

沿气室的增益或吸收

\frac{dI}{dz}=\alpha_0\,\ell(\delta)\,(2n-1)\,I

粒子数差 2n 减 1 决定符号。哪里有一半以上的原子在上能级，光束在哪里就变强。

相位跟着增益走

\Delta\phi=-\frac{\delta}{2}\,\ln T

对洛伦兹线形，同一个粒子数差也决定折射率。光频低于共振时，吸收气体让光波落后，受激气体让它超前；正好共振时，加进来的光要么完全同相，要么完全反相。

增益什么时候消失

t_{\times}=\tau\ln(2p_0)

探测光很弱时，每个原子都从制备比例 p0 自由衰减；上能级剩下一半时，增益消失。探测光越强，把原子推下来得越快，转折就来得越早。

连续光不能让两能级反转

n\to\frac{s/2}{1+s}<\frac{1}{2},\qquad s=\ell(\delta)\,\frac{I}{I_{\rm sat}}

不论光强多大，恒定光照下的稳态上能级比例都只是从下方逼近一半。

强探测光能把气室漂白到什么程度

\ln T+\ell(\delta)\,\frac{I_{\rm in}}{I_{\rm sat}}\,(T-1)=-\alpha_0 L\,\ell(\delta)

吸收气室的稳态透过率。折叠的诊断图把记录末尾和这条曲线放在一起比较。

常见难点

受激光子不会自己选方向

容易误解受激光子和自发辐射一样，朝随机方向射出。

正确理解原子偶极子由探测光驱动，它辐射出的光加进同一个光束模式，频率、相位和偏振都相同。只有自发辐射才会射向所有方向。

光再强也过不了一半

容易误解光够强，就能把一半以上的原子抬上去。

正确理解跃迁频率上的光向上、向下驱动的速率相同。恒定光照下上能级比例只能逼近一半；要反转，必须借助额外的能级走另一条路。

自发辐射平均起来不会增强光束

容易误解自发辐射的光子会让探测光变强。

正确理解它们射向所有方向，相位随机，不给光束添加相干光场。落进光束模式的那一小部分只是噪声，这个模型没有包括它。

动手实验

01
看气体先放大、后吸收
保持默认预设“受激气体先放大、后吸收”，看完一遍回放。
你会看到： 出射波一开始比入射波高。紫色原子随着琥珀色光子飞出而变暗；大约半个寿命以后，出射光就比入射光弱了。
02
让所有原子都从下能级开始
选“基态气体只吸收”。
你会看到： 吸收事件多于受激事件，整段记录里增益都在零以下。
03
把探测光调得很强
选“强探测光：变透明，不放大”。
你会看到： 受激事件几乎和吸收一样多。上能级比例停在略低于一半的地方，气室接近透明，但始终不放大。
04
失谐后比较相位
先后选两个失谐预设，把出射波和淡色的空气室波形对比。
你会看到： 吸收气体让波峰往后移，受激气体让波峰往前移。相量图也朝相反方向转。