光学 102 · 粒子数反转

泵浦与粒子数反转

为什么两能级系统泵浦再强也反转不了，三能级、四能级却可以？ 两能级系统里，泵浦再强，最多也只能让上下能级粒子数相等，这时吸收和受激辐射正好抵消，反转始终到不了。三能级和四能级方案借助额外能级来泵浦；四能级方案的激光下能级几乎是空的，只要激发少量原子就能反转。

两能级再怎么泵浦也只会被漂白；三能级要把一半以上的原子泵上去，四能级一泵就有增益。一盏灯下同时看三种气体。

两能级气体：反转量 $\text{—}$

三能级气体：反转量 $\text{—}$

四能级气体：反转量 $\text{—}$

三能级阈值泵浦速率（解析） $\text{—}$

记录末尾的探测光增益：2 / 3 / 4 能级 $\text{—}$

解析稳态反转：2 / 3 / 4 能级 $\text{—}$

四能级气体：最大反转及其时刻 $\text{—}$

三能级气体：停在泵浦带的比例 $\text{—}$

四能级气体：激光下能级的比例 $\text{—}$

泵浦速率乘上能级寿命 / 泵浦带与下能级时间之比 $\text{—}$

全部原子在激光下能级时的探测光学厚度 $\text{—}$

粒子数记账残差 $\text{—}$

泵浦开启后记录的时长 $\text{—}$

每个气室里的原子能级都不简并，服从线性速率方程；泵浦开启时，所有原子都在基态。每个原子的泵浦速率同时作用于泵浦跃迁的两个方向，吸收和受激辐射速率相同。所以在两能级气室里，泵浦光驱动的就是激光跃迁本身。在三能级和四能级气室里，泵浦光把原子送到泵浦带，泵浦带再无辐射地衰减到激光上能级。激光上能级按上能级寿命衰减：三能级气室里直接回到基态，四能级气室里先落到单独的激光下能级，再从那里排空回基态。探测光很弱，只读出粒子数差而不改变它；它的增益（分贝）等于 4.34 乘以探测光学厚度，再乘以每个原子的反转量。每条记录覆盖最长寿命的五倍，每个采样步用一次精确的矩阵指数推进；旁边给出的解析稳态来自同一组方程。模型不含简并度因子、泵浦光与泵浦带的光谱重叠、激发态吸收、泵浦光沿气室的损耗、放大自发辐射、谐振腔反馈和温度。气室长度、原子位置和泵浦灯都是示意。画出的原子表示记录到的各能级比例，不是单个原子的经历。

先抓重点

核心问题: 同样的泵浦，为什么一种气体还在吸收，一种勉强透明，另一种却在放大？
一句话直觉: 直接照在激光跃迁上的泵浦光，把原子推下来和抬上去一样频繁，所以两能级永远过不了一半。多一个能级，泵浦就能绕另一条路填满上能级；可激光下能级仍然是基态，必须把一半以上的原子都移走。再多一个能级，激光下能级就会被排空，只要它排空得比上能级衰减快，任何泵浦都能带来增益。

核心数学模型

两能级：泵浦只能漂白

\frac{\Delta N}{N}=-\frac{1}{1+2W_p\tau_{21}}

Delta N 除以 N 是激光上能级比例减下能级比例，W_p 是每个原子的泵浦速率，tau_21 是上能级寿命。反转量从下方逼近零，永远不会变正。

三能级：越过阈值才有增益

\begin{gathered}\frac{\Delta N}{N}=\frac{x(1-\beta)-1}{1+x(1+2\beta)}\\ x=W_p\tau_{21},\quad \beta=\frac{\tau_{32}}{\tau_{21}}\end{gathered}

beta 是泵浦带衰减时间与上能级寿命之比。泵浦带衰减很快时，式子化为 x 减 1 除以 x 加 1。

三能级的阈值

W_{\rm th}=\frac{1}{\tau_{21}(1-\beta)}

泵浦速率低于它时，三能级气体仍在吸收。泵浦带越慢，阈值越高；泵浦带比上能级排空还慢时，泵浦再强也反转不了。

四能级：一开始就有增益

\begin{gathered}\frac{\Delta N}{N}=\frac{x(1-\gamma)}{1+x(1+2\beta+\gamma)}\\ \gamma=\frac{\tau_{10}}{\tau_{21}}\end{gathered}

gamma 是激光下能级排空时间与上能级寿命之比。只要 gamma 小于 1，任何泵浦都能让气体反转。

三能级气体要多久才变透明

t_0=\frac{\tau_{21}}{1+x}\,\ln\frac{2x}{x-1}

泵浦带很快时，上能级比例朝 x 除以 1 加 x 上升，反转量在这个时刻越过零。越接近阈值，等待时间越长，直到无限。

探测光看到什么

G_{\rm dB}=\frac{10}{\ln 10}\,\alpha_0 L\,\frac{\Delta N}{N}

alpha_0 L 是全部原子都在激光下能级时的探测光学厚度。反转为正就是增益，为负就是损耗。

常见难点

泵浦光再亮也反转不了两能级

容易误解泵浦光足够强，两能级气体迟早会反转。

正确理解跃迁频率上的光驱动吸收和受激辐射的速率相同。泵浦越强，只是让上下能级的原子数越接近，气体被漂白到接近透明。

三能级光靠上能级寿命长还不够

容易误解只要上能级寿命足够长、能攒住原子，三能级气体马上就会反转。

正确理解它的激光下能级就是基态，一开始是满的。必须把一半以上的原子泵出去，气体才不再吸收，所以要有阈值泵浦速率。

四能级也会失败

容易误解四能级气体总能反转。

正确理解落到激光下能级的原子必须比上能级衰减更快地离开。离开得慢，它们就堆在那里，增益只维持一小会儿。

动手实验

01
用弱泵浦照射三种气体
保持默认预设“弱泵浦：只有四能级有增益”，看完一遍回放。
你会看到： 三能级和四能级气室的上能级填得一样多，但只有四能级气室在放大。它的激光下能级是空的，而三能级气体的大部分原子还留在会吸收光的基态。
02
把三能级气体推过阈值
选“三能级越过阈值”，或者把泵浦旋钮往右拖。
你会看到： 泵浦速率超过阈值读数后，三能级的反转量变成正的。四能级气室的增益更大。
03
用强泵浦照射两能级气体
选“强泵浦：两能级只会漂白”。
你会看到： 两能级气室几乎变透明，但反转量始终低于零。另外两个气室这时大部分原子都在上能级。
04
让激光下能级排空变慢
选“下能级排空慢：先增益后吸收”。
你会看到： 四能级气室的增益维持不到四毫秒。随后蓝色原子在激光下能级越积越多，增益变成了损耗。

泵浦与粒子数反转

一盏灯泵浦三种气体，看哪一种能放大光

核心数学模型

两能级：泵浦只能漂白

三能级：越过阈值才有增益

三能级的阈值

四能级：一开始就有增益

三能级气体要多久才变透明

探测光看到什么

常见难点

泵浦光再亮也反转不了两能级

三能级光靠上能级寿命长还不够

四能级也会失败

动手实验

用弱泵浦照射三种气体

把三能级气体推过阈值

用强泵浦照射两能级气体

让激光下能级排空变慢

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