光学 104 · 光腔设计

稳定腔与横模

两面镜子的曲率和间距怎样选，光腔才稳定，并以基横模为主？ 两面镜子的 g 参数相乘，结果在零和一之间，腔就是稳定的；每个 g 等于一减去腔长与该镜曲率半径之比。在这个范围内，Gaussian 光束来回反射多少趟都不会散出腔外。再加一个大小合适的光阑，更宽的高阶横模损耗更大，留下的就是基横模。

先选好两面镜子的曲率和间距，让 Gaussian 模装得下，再把光阑开到只剩基横模。在相机上看高阶横模逐渐消失。

两面镜子的稳定性乘积 $\text{—}$

基横模：每次往返在光阑处的损耗 $\text{—}$

损耗最小的高阶横模 $\text{—}$

记录末尾基横模的功率占比 $\text{—}$

后镜 / 输出镜上的模式半径 $\text{—}$

束腰半径及其与后镜的距离 $\text{—}$

光轴在后镜上 / 光阑处的平移 $\text{—}$

每次往返的 Gouy 相位 $\text{—}$

横模频率间隔 / 自由光谱范围 $\text{—}$

光阑的 Fresnel 数 $\text{—}$

基横模占到一半功率所需的往返次数 $\text{—}$

记录末尾的平均横模阶数 $\text{—}$

记录的往返次数 $\text{—}$

光学 104

两面镜子的曲率和间距怎样选，光腔才稳定，并以基横模为主？

腔长

L

30\,\mathrm{cm}

后镜曲率半径

R_1

100\,\mathrm{cm}

输出镜曲率半径

R_2

100\,\mathrm{cm}

输出镜前的光阑半径

a

0.6\,\mathrm{mm}

输出镜倾角

\theta_2

0\,\mathrm{\mu rad}

真空波长

\lambda

1064\,\mathrm{nm}

光阑形状

S

0

记录的往返次数

N

200

每次改动都从十五个横模的相同种子重新记录一次竞争。记录只算一次，回放不再重算。

两面球面镜在空气中相对放置，凹面曲率半径取正，光束按标量近轴处理。g 等于一减去腔长与镜面曲率半径之比；两面镜子的 g 相乘严格落在零和一之间时，腔里才有 Gaussian 模。镜面上的模式半径、束腰大小和位置按 Kogelnik 与 Li（1966）计算；半径指强度降到峰值的 e 平方分之一处。乘积离零或一不到万分之一时算作稳定边界，镜子已经定不下唯一的模式尺寸，这时不画模式。稳定区之外，用同一组镜面矩阵追迹一条离轴光线，直到它离开镜面。输出镜绕顶点倾斜时，它的曲率中心跟着移动；新的光轴连接两个曲率中心，所以在后镜上平移腔长乘倾角、再除以一减乘积，在光阑处再乘以后镜的 g。模式绕新光轴保持原来的形状。光阑紧贴输出镜，每次往返对每个模式削一次。记录跟踪十五个阶数不超过四的横模：圆光阑用 Laguerre–Gaussian 花瓣模，方形光阑用 Hermite–Gaussian 模，起始种子功率都相同。每个模式的损耗取未变形模式落在光阑外的功率；这是估算，没有 Fox–Li 截断腔计算会给出的衍射重塑，也把每个模式单独处理。在饱和以下，所有模式的增益相同，在占比里相互抵消，所以每次往返只是把各模式的功率乘以它自己的光阑透过率。模型不含增益饱和、空间烧孔、增益分布、热透镜、像散和输出耦合。相机拍的是输出镜所在平面；不同阶的模式频率不同，强度直接相加。旁边的理想基横模是同一对镜子对准、无光阑时的模式，不属于记录。光束宽度和光轴位移相对长度放大 32 倍，倾角放大 1000 倍；画出的光束半径是记录到的横模混合的二阶矩半径。

先抓重点

核心问题: 什么样的镜面曲率、间距和光阑能只留下基横模？为什么有的腔对倾斜特别敏感？
一句话直觉: 两面镜子的 g 相乘，决定 Gaussian 模能不能装进腔里，以及它在每面镜子上有多大。高阶横模都比基横模宽，所以比基横模稍大一点的光阑，削高阶模要狠得多。每次往返都重复这点损耗差，基横模就逐渐占满。在平面端和共心端，乘积接近一，两面镜子上的模式都变大，倾斜造成的光轴平移也与一除以一减乘积成正比。

核心数学模型

什么时候装得下 Gaussian 模

0<g_1g_2<1,\qquad g_i=1-\frac{L}{R_i}

L 是镜间距，R_i 是第 i 面镜子的曲率半径，凹面取正。超出这个范围，贴着光轴的光线会走出镜面。

每面镜子上的模式半径

\begin{gathered}w_1^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_2}{g_1(1-g_1g_2)}}\\ w_2^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_1}{g_2(1-g_1g_2)}}\end{gathered}

lambda 是波长。乘积趋近一时，也就是稳定区的平面端和共心端，两个半径都会无限变大。

腔内的束腰

w_0^2=\frac{\lambda L}{\pi}\sqrt{\frac{g_1g_2(1-g_1g_2)}{(g_1+g_2-2g_1g_2)^2}}

接近共心时，束腰缩成一个极小的焦点，镜面上的光斑却在变大。

倾斜对光轴的影响

\Delta x_1=\frac{L\,\theta_2}{1-g_1g_2},\qquad \Delta x_2=g_1\,\Delta x_1

输出镜倾斜 theta_2，它的曲率中心随之移动，光轴总是连接两个曲率中心。Delta x_1 是后镜上的平移，Delta x_2 是光阑处的平移。

两个最低阶模的截断损耗

\begin{gathered}\ell_{00}=e^{-2a^2/w_2^2}\\ \ell_{01}=\left(1+\frac{2a^2}{w_2^2}\right)e^{-2a^2/w_2^2}\end{gathered}

圆光阑半径为 a、中心对准模式时，这是每次往返中未变形模式落在光阑外的功率。

k 次往返后的占比

s_i(k)=\frac{(1-\ell_i)^k}{\sum_j(1-\ell_j)^k}

种子相同、各模式增益也相同时，每次往返只是把每个模式乘上它自己的透过率。损耗差百分之三，一百次往返后占比就缩小约二十倍。

各横模在频率上的位置

\frac{\nu}{c/2L}=q+1+\frac{N+1}{\pi}\arccos\left(\pm\sqrt{g_1g_2}\right)

q 数的是沿光轴的半波长个数，N 是横模阶数，正负号跟 g 的符号一致。不同阶的模式频率不同，所以相机上是它们的强度相加。

常见难点

稳定不等于低损耗

容易误解只要稳定性乘积在零和一之间，光腔的损耗就低。

正确理解稳定只说明 Gaussian 模装得下。损耗取决于镜子和光阑与模式尺寸相比有多大，而模式在稳定区两端都会变大。

光阑不是越小越好

容易误解光阑收得越小，基横模越干净。

正确理解光阑小到约一个光斑半径以下，连基横模也会被削，激光要多得多的增益才能运转。最好的光阑几乎不碰基横模，只削更宽的模式。

平面镜不是省事的选择

容易误解两面平面镜或近平面镜组成的腔最简单，也最宽容。

正确理解在平面端附近，模式很大，一点点倾斜造成的光轴平移比曲面镜腔大好几倍，对准就变得很关键。

动手实验

01
看基横模胜出
保持默认预设“光阑匹配：基横模胜出”，看完一次回放。
你会看到： 相机一开始是十五个横模叠成的一大团模糊。几十次往返之内，它收缩成一个圆斑，腔内的光束也跟着变细。
02
把光阑开大
加载“光阑全开：横模全都留下”。
你会看到： 没有哪个模式有可测的损耗，十五个模式一直平分功率，相机画面始终不清晰。
03
把光阑收得太小
加载“光阑太小：基横模也被削”。
你会看到： 基横模几次往返就胜出，但它每次要损失将近五分之一的功率，这些得靠增益补回来。
04
让近平面腔倾斜
加载“近平面镜：一点倾斜就让模式走偏”，再把倾角滑块拖回零。
你会看到： 六十微弧度就让光轴移动约半个光斑半径，基横模损耗从不到百分之一升到百分之三。同样的倾斜，默认的腔几乎没有反应。
05
走出稳定区
从默认状态出发，把输出镜曲率半径拖到 30 cm 的腔长以下。
你会看到： 两个 g 变成一正一负，乘积小于零。光束消失了，一条离轴光线反射几次就走出镜面。

稳定腔与横模

设计一个让相机只看到一个干净光斑的光腔

核心数学模型

什么时候装得下 Gaussian 模

每面镜子上的模式半径

腔内的束腰

倾斜对光轴的影响

两个最低阶模的截断损耗

k 次往返后的占比

各横模在频率上的位置

常见难点

稳定不等于低损耗

光阑不是越小越好

平面镜不是省事的选择

动手实验

看基横模胜出

把光阑开大

把光阑收得太小

让近平面腔倾斜

走出稳定区

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