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Sandbox Physics

光学 103 · 纵模竞争

激光怎样从噪声启动

激光怎样从随机噪声长成一个占主导的模式？ 自发辐射给每个腔模都撒下一点噪声。超过阈值后，增益大于腔损耗，净增益最大的模式按指数增长，比别的模式都快。它越强，增益被消耗得越多，最后钳在正好等于损耗的水平，这个模式也就占了上风。

页面打开时已录好一段从泵浦开启开始的起振。每个纵模都从自发辐射噪声起步；在相机上看它们一起长大，直到只剩一个。

交互模型激光怎样从噪声启动
到第一个尖峰的时间—\text{—}
记录末尾的边模抑制比—\text{—}
超过最强模 1 % 的模数—\text{—}
记录末尾的输出功率—\text{—}
泵浦开启后记录的时长—\text{—}
反转到达阈值的时间（解析）—\text{—}
反转与线中心阈值之比—\text{—}
最优模的阈值—\text{—}
最强模占光子总数的比例—\text{—}
记录末尾的腔内光子数—\text{—}
钳位后的光子数（解析）—\text{—}
稳态边模抑制比（解析）—\text{—}
小信号振荡频率（记录）—\text{—}
弛豫振荡频率（解析）—\text{—}
振荡衰减时间（解析）—\text{—}
峰值输出功率—\text{—}
纵模间隔—\text{—}
增益半高全宽内的模数—\text{—}
光子寿命—\text{—}
离子与光子记账残差—\text{—}

物理教程

看噪声怎样长成一个激光模

背景激光腔里有许多纵模，间隔等于光速除以两倍镜距。泵浦一开，自发辐射就往每个纵模里都放进一点光。

为什么值得理解哪个模起振，没有谁来挑。记录里能看到各模从同样的噪声里一起长大，反转停在一个阈值上，然后除了一个模，其余全都暗下去。

先抓重点

核心问题
为什么是这一个模胜出？要多久？
一句话直觉
所有模共用同一份反转。最优模一旦把反转钳在自己的阈值上，其他模的增益就都小于损耗，只能衰减回自发辐射的微光。

核心数学模型

一份反转，每个模一个方程

dxdt=r−xτL−xτpNth∑kℓknkdnkdt=x ℓk (nk+1)−nkτp\begin{aligned}\frac{dx}{dt}&=\frac{r-x}{\tau_L}-\frac{x}{\tau_p N_{\rm th}}\sum_k \ell_k n_k\\\frac{dn_k}{dt}&=\frac{x\,\ell_k\,(n_k+1)-n_k}{\tau_p}\end{aligned}

x 是反转与线中心模阈值之比，r 是泵浦与该模阈值泵浦之比；多出来的加一就是进入该模的自发辐射。

增益线与纵模梳

ℓk=11+[2(k+δ) ΔνFSR/Δνg]2ΔνFSR=c2L\begin{aligned}\ell_k&=\frac{1}{1+\left[2(k+\delta)\,\Delta\nu_{\rm FSR}/\Delta\nu_g\right]^2}\\\Delta\nu_{\rm FSR}&=\frac{c}{2L}\end{aligned}

第 k 个模与最靠近线中心的模相隔 k 个间隔，而那个模本身偏离线中心 delta 个间隔。腔越长，同一条增益线下挤进的模越多。

光子寿命

τp=2L/c−ln⁡[(1−T)(1−αi)]\tau_p=\frac{2L/c}{-\ln\left[(1-T)(1-\alpha_{\rm i})\right]}

往返时间除以输出耦合镜和其他损耗合起来的对数往返损耗。

阈值与第一次越过阈值

xth=1ℓ0tth=τLln⁡rℓ0rℓ0−1\begin{aligned}x_{\rm th}&=\frac{1}{\ell_0}\\t_{\rm th}&=\tau_L\ln\frac{r\ell_0}{r\ell_0-1}\end{aligned}

光还弱的时候，反转按 r 乘以一减指数衰减上升。最优模在这个时刻到达阈值，第一个尖峰稍晚出现。

钳位后的稳态

x ℓ0→1n0=r−1/ℓ0βnk≠0=ℓkℓ0−ℓk\begin{aligned}x\,\ell_0&\to1\\n_0&=\frac{r-1/\ell_0}{\beta}\\n_{k\neq0}&=\frac{\ell_k}{\ell_0-\ell_k}\end{aligned}

多出来的泵浦只会给胜出模添光子。每个落败模剩下的自发辐射水平，取决于它的增益和胜出者有多接近。

弛豫振荡

ωR2=rℓ0−1τLτp−γR2γR=rℓ02τL\begin{aligned}\omega_R^2&=\frac{r\ell_0-1}{\tau_L\tau_p}-\gamma_R^2\\\gamma_R&=\frac{r\ell_0}{2\tau_L}\end{aligned}

第一个尖峰之后，光子和反转来回交换能量，按这个速率衰减。记录后段的峰就拿来和这个小信号结果比较。

落败的模为什么会退

dln⁡nkdt≈−1−ℓk/ℓ0τp\frac{d\ln n_k}{dt}\approx-\frac{1-\ell_k/\ell_0}{\tau_p}

反转被钳住以后，增益几乎和胜出者一样高的模每次往返几乎不亏，所以退得很慢。

常见难点

钳位不等于泵浦不再起作用

容易误解增益一旦被钳住，再加泵浦也没有变化。

正确理解反转停在阈值，但多出来的泵浦变成胜出模里的光子，输出功率还会继续上升。

光有均匀展宽还不够

容易误解只要增益线是均匀展宽的，激光就一定单模运行。

正确理解这个模型让所有模共用同一份反转。真实的驻波腔里有空间烧孔：驻波波腹之间留下没用掉的反转，额外的模就能活下来。

第一个尖峰不是稳态功率

容易误解第一个尖峰有多高，激光就能稳定输出多少。

正确理解光还没追上时，反转已经越过阈值很多，所以第一个尖峰远高于稳态功率，后面还跟着一串振荡。

动手实验

  1. 01

    看记录从噪声起步

    保持默认预设“噪声长成一个模”，盯着线阵相机看完一遍回放。

    你会看到： 先是增益介质变亮。接着相机上许多暗淡的光斑同时变亮，出现一个尖峰，很快只剩一个光斑。
  2. 02

    把泵浦降到阈值以下

    选“阈值以下：只有微光”。

    你会看到： 反转停在泵浦水平，始终到不了阈值。每个模都只有一点微光，强弱按增益线分布。
  3. 03

    加宽增益线、拉长腔

    选“宽增益线：多个模迟迟不退”，或把输出耦合镜往外拖。

    你会看到： 增益线下挤进更多的模，彼此的增益更接近，记录结束时仍有几个模在起振。
  4. 04

    让线中心落在两个模之间

    选“两个模几乎打平”，在增长图里比较最强的两个模。

    你会看到： 两个模几乎一样快地长大。稍占优势的那个最终胜出，但记录末尾的抑制比远低于稳态值。

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