为什么临界链在每个尺度上看起来都一样

关联长度，以及它消失时会发生什么

挑一个自旋，问相隔 $r$ 个格点的自旋在多大程度上跟着它。离开临界点时，这个关联按指数衰减，衰减长度 $\xi$ 就是一块关联区域的典型大小。用 $\xi$ 作距离单位，这类系统看起来都差不多。

到了临界点， $\xi$ 无限增大，剩下的是幂律。从哪里出发都一样：距离加倍，关联总是乘上同一个因子 $2^{-\eta}$ ，没有哪个长度是特殊的。

C(r)\sim e^{-r/\xi}\ \ (\text{off critical}),\qquad C(r)\propto r^{-\eta}\ \ (\text{critical})

指数

\eta

由临界点本身决定，与材料细节无关。二维 Ising 普适类中它等于

1/4

。

来源：S. Rychkov

一条可以精确求解的链

横场 Ising 链里，自旋与近邻以强度 $J$ 耦合，横场 $h$ 则试图把它们翻转。 $h<J$ 时自旋有序， $h>J$ 时无序。 $h=J$ 时链处于临界，属于二维 Ising 普适类。

映射成自由费米子后， $N$ 个自旋组成的环的基态可以精确写出，关联是一个 $r$ 阶行列式。环上进入幂律的距离是弦长 $(N/\pi)\sin(\pi r/N)$ ，间距很小时它就等于 $r$ 。

H=-J\sum_i\sigma^x_i\sigma^x_{i+1}-h\sum_i\sigma^z_i,\qquad C(r)=\langle\sigma^x_0\sigma^x_r\rangle\propto\Bigl[\tfrac{N}{\pi}\sin\tfrac{\pi r}{N}\Bigr]^{-1/4}

第二个式子在临界横场下、间距远大于一个格点时成立。

N=16

个自旋组成的环。临界场下，两个自旋的关联只通过弦长

(N/\pi)\sin(\pi r/N)

的一个幂次依赖于距离，所以乘以

N^{1/4}

后，不同大小的环落在同一条曲线上。示意图。

来源：G. B. Mbeng · D. Simmons-Duffin

检验：重标后再比较

如果 $C$ 只通过弦长的 $-1/4$ 次幂依赖 $r$ 和 $N$ ，那么 $N^{1/4}C(r)$ 只依赖比例 $r/N$ 。各种大小的环都应落在同一条曲线上。这是一个明确、可以被否定的预言。

有序相里关联趋于常数， $N^{1/4}C$ 随环变大而变大；无序相里几个格点之外关联就消失了。只有在临界横场下，曲线才会重合。

来源：G. B. Mbeng

完整例题：临界横场下 16 到 256 个自旋的环

取 $h=J$ ，间距 $r=N/8$ 。 $N=16$ 、 $64$ 、 $256$ 时精确关联分别是 $0.5439$ 、 $0.3859$ 、 $0.2729$ ，相差一倍；而 $N^{1/4}C$ 分别是 $1.0878$ 、 $1.0915$ 、 $1.0918$ 。小环差千分之四，两个大环在四位数字内一致。

在 256 格点的环上，从 $r=N/4$ 到 $r=N/2$ ，弦长增大 $\sqrt2$ 倍，关联降为 $2^{-1/8}\approx0.917$ 倍。由这个比值得到 $\eta=0.2500$ ，四位数字都对。

取 $h=0.8J$ ，256 格点环上半环处的关联是 $0.7746$ ，与 $(1-h^2/J^2)^{1/4}$ 六位数字一致：这是一个有限的平台，即磁化强度的平方。这时乘上 $N^{1/4}$ ，环越大就越亮。

到实验里试一试

让各个环重合

从临界预设开始。先预测：重标后，五个环的颜色会一样吗？
跟着探针转一圈，确认第一张图里的曲线彼此重合。
把横场调到 0.9，再调到 1.1，描述两种相里各环怎样分开。

同一条链，换成短链并离开平衡

选择“没有翻转的整链淬火”，查看“连通关联”。Hamiltonian 相同，只是换成四到八个自旋的开放链。
先预测再看：这么短的链能显出干净的幂律吗？把它的长度和临界环上用到的间距比一比。

练习与解答

若 $C\propto r^{-1/4}$ ，间距从 10 增大到 160 个格点，关联降为原来的几分之几？
展开解答
距离增大 16 倍，关联降为 $16^{-1/4}=1/2$ 。
为什么指数衰减会挑出一个长度，而幂律不会？
展开解答
对 $e^{-r/\xi}$ ，每往外走 $\xi$ 总要付出因子 $e$ ，所以 $\xi$ 是天然的单位。对 $r^{-\eta}$ ，只有距离之比才重要：在任何尺度上加倍，代价都是 $2^{-\eta}$ 。
临界横场下 128 个自旋的环给出 $C(16)=0.3246$ 。估计 256 个自旋的环上 $C(32)$ 。
展开解答
两点都在 $r/N=1/8$ ， $N^{1/4}C$ 相同： $C\approx0.3246\times(128/256)^{1/4}=0.2729$ ，与精确值四位一致。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
S. Rychkov, EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D ≥ 3 Dimensions, arXiv:1601.05000v2 (2016)
第 2 版。第 1.1 节：不动点与临界点的标度不变性。第 1.3.4 节：初级算符的变换规则。第 2.2 节：初级标量的两点与三点函数。第 3.1.3—3.1.4 节：态—算符对应与柱面图像。第 3.3 节：算符乘积展开。第 4.3.1 节，式 (4.14)—(4.16)：极小模型，以及二维 Ising 模型的中心荷、自旋算符与能量算符的量纲。
G. B. Mbeng, A. Russomanno and G. E. Santoro, The quantum Ising chain for beginners, arXiv:2009.09208v2 (2020)
第 2 版。第 1—3 节：用 Jordan-Wigner 变换把链映成自由费米子。式 (55)：均匀链的准粒子能量，横场 Ising 环是其中完全各向异性的情形。式 (247)—(249)：基态关联函数写成行列式。课程据此计算周期横场 Ising 环，并用八格点精确对角化核对。