数值 bootstrap 上限证明了什么，没证明什么

准确的结论是什么

上限假设：理论幺正，外算符全同且量纲给定，间隙以下没有交换算符。在这些假设下， $\Lambda$ 阶的有效泛函排除所有高于 $\Delta_*(\Lambda)$ 的间隙。

少用导数只是丢掉信息，不会加进错误的约束。低阶上限因此比最优上限 $\Delta_*$ 弱，但依然成立；增加导数只会让它下降。

\Delta_{\mathrm{gap}}\le\Delta_*\le\Delta_*(\Lambda'),\qquad \Delta_*(\Lambda')\le\Delta_*(\Lambda)\ \ \text{for}\ \ \Lambda'>\Lambda

任何自洽理论都在最优上限之下，而最优上限又在每个有效的有限阶上限之下。

来源：D. Simmons-Duffin · D. Poland

数值上限可能在哪里出错

采样。线性规划只在采样的量纲上要求 $\alpha(F_\Delta)\ge0$ 。约束少了，能通过的泛函就多，所以采样得到的上限可能低于真实值。在采样点之间，泛函可能略微变负。

截断。二维时必须截断自旋和量纲范围。漏掉算符同样是去掉约束，可能让上限显得比实际更强。下一章会展示这样一个例子：它把 Ising 模型都排除了。

精度。高阶导数需要很多位有效数字。双精度下问题会变得病态，所以这些 Lab 停在中等阶数，而发表的工作使用高精度求解器。

来源：S. Rychkov and N. Su · D. Poland

完整例题：审查一次排除

取泛函 Lab 的默认问题： $\Delta_\psi=1/2$ ， $\Lambda=13$ ，试探间隙 $2.4$ 。线性规划返回一个 $\alpha(F_0)=1$ 的泛函，所以在采样网格上这个间隙被排除。

检查一：采样点之间。在细六倍的网格上，归一化后的最小值是 $-2.72\times10^{-5}$ 。严格说，泛函在那里不成立。间隙比算出的上限高 $0.25$ ，这么小的下探不太可能改变结论，但只有在整个区间上都检查过的泛函才能下定论。

检查二：采样怎样移动上限。只用基础网格，上限是 $2.15255$ 。把泛函下探的点加进去后，上限升到 $2.15328$ 。约束越多，上限越高：连续问题的上限不低于 $2.15328$ 。

检查三：算术。另一个独立脚本用 30 位精度对超几何级数求和，并用另一个求解器 HiGHS 解同一网格。十二个上限的差别都在 $4.3\times10^{-6}$ 以内。这检验的是代码，不是采样，也不是假设。

\hat\alpha(\Delta)=\frac{\alpha(F_\Delta)}{|\alpha|\,|F_\Delta|},\qquad \min_\Delta\hat\alpha=-2.72\times10^{-5}

同时除以两个长度，下探的大小才能在不同量纲、不同泛函之间比较。

来源：S. Rychkov and N. Su · D. Mazáč

允许不等于存在

在上限以下，求解器返回一份权重为正的谱。在 $\Lambda=3$ 、间隙 $2.3$ 时，它只用了两个算符，分别在 $2.3$ 和 $3.365$ 。它满足两个导数方程，仅此而已，并不是一个理论。

“允许”只表示这次搜索没有找到矛盾。真实理论存在的证据要从别处来：精确解、格点模型，或者导数增多时越来越尖的特征，比如拐点。

来源：D. Poland · D. Simmons-Duffin

到实验里试一试

读证书检查

在默认设置下找到证书读数，记下泛函下探到零以下多少。
先预测提高试探间隙会让下探变大还是变小，再试一试。
降低间隙直到结论翻转，看看被允许的谱只用了多少个算符。

练习与解答

只在采样的量纲上要求正性。这会让算出的上限比连续问题的高还是低？
展开解答
低或相等。约束少了，合格的泛函就多，被排除的间隙也更多。加密采样点后，算出的上限只会升高或保持不变。
$\Lambda=9$ 算出的上限是 $2.2316$ ， $\Lambda=13$ 的是 $2.1533$ 。如果后者正确，前者也可能正确吗？
展开解答
可能。低阶用的信息少，上限更弱，但依然成立。两者都高于最优值 $2$ ，这也是必须的。
一份独立代码把每个上限都复现到六位数字。这能证明上限是严格的吗？
展开解答
不能。它只说明在选定网格上算术是对的。两份代码的采样、截断和物理假设相同，在这些地方出错，哪一份都发现不了。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
D. Mazáč, Analytic bounds and emergence of AdS2 physics from the conformal bootstrap, arXiv:1611.10060v1; JHEP 04 (2017) 146
第 1 版。式 (2.12)—(2.17)：直线上全同算符的四点函数、交比、单变量共形块与交叉方程。式 (2.18) 与图 2：数值间隙上限；正文说导数越多，它越收敛到外算符量纲的两倍加一。式 (2.19)—(2.23)：取到这个上限的广义自由费米子，以及极值泛函的零点。图 1：典型极值泛函的作用。
D. Poland, S. Rychkov and A. Vichi, The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques, and Applications, arXiv:1805.04405v3; Rev. Mod. Phys. 91, 015002 (2019)
第 3 版。第 IV.A 节：在离散化的量纲集合上做线性规划，综述称这种做法已经过时，但有教学价值。第 IV.B 节：半定规划，用多项式近似对所有量纲施加正性，并截断自旋，求解器用高于机器精度的算术。图 5：能或不能以正系数相加为零的向量，以及分隔平面。图 7：三维单个关联函数的上限，Ising 模型位于拐点附近。图 12、14、15：混合关联函数得到的三维 Ising 孤岛。表 II：三维 Ising 模型的稳定算符。孤岛与该表只作阅读材料。
S. Rychkov and N. Su, New developments in the numerical conformal bootstrap, arXiv:2311.15844v3 (2024)
第 3 版。第 2 节：求解器 SDPB 使用任意精度算术，因为矩阵病态。第 3 节：标准做法，即在对称点取导数、用多项式近似共形块的导数，再求解半定可行性问题。第 4.2 节脚注 18：即使在已发表的误差棒里，也仍有一些近似并不完全严格。第 6.3.1 节：严格误差棒与非严格误差棒的比较。