二维上限的拐点，以及落在拐点上的 Ising 模型

从直线到平面

二维时，四个点留下两个交比 $u$ 和 $v$ ，也可写成 $z$ 和 $\bar z$ 。交换算符除了量纲还带自旋 $\ell$ ，每个共形块由第 3 章的两个一维块拼成。

取四个全同标量 $\sigma$ ，它们在符号翻转下为奇，就像 Ising 自旋。这样 $\sigma\times\sigma$ 中只出现偶算符和偶自旋，幺正性要求 $\Delta\ge\ell$ 。上限针对的是最轻的标量，在 Ising 模型里就是 $\varepsilon$ 。

\sum_{\Delta,\ell}p_{\Delta,\ell}\Bigl[v^{\Delta_\sigma}g_{\Delta,\ell}(u,v)-u^{\Delta_\sigma}g_{\Delta,\ell}(v,u)\Bigr]=0,\qquad p_{\Delta,\ell}\ge0

结构与直线上相同：一组已知函数以非负权重相加，必须等于零。

g_{\Delta,\ell}=\frac{k_{h}(z)\,k_{\bar h}(\bar z)+k_{\bar h}(z)\,k_{h}(\bar z)}{1+\delta_{\ell0}},\qquad h=\tfrac{\Delta+\ell}{2},\ \ \bar h=\tfrac{\Delta-\ell}{2}

这里

k_h(x)=x^h\,{}_2F_1(h,h;2h;x)

是权重为

h

的一维共形块。

来源：D. Simmons-Duffin · S. Rychkov and A. Vichi

带拐角的上限

对每个外算符量纲 $\Delta_\sigma$ ，搜索给出最大允许的 $\Delta_\varepsilon$ 。这类二维上限最早出现在 Rychkov 和 Vichi 2009 年的论文中。曲线在 $\Delta_\sigma=1/8$ 附近急转；Ising 的精确值正是 $\Delta_\sigma=1/8$ 、 $\Delta_\varepsilon=1$ 。

搜索本身对 Ising 模型一无所知，所以这个转折是算出来的结果，不是放进去的输入。上限收紧时位置不动的拐角，是上限在追踪真实理论的最清楚的信号之一。

二维中最大允许的

\Delta_\varepsilon

随

\Delta_\sigma

的变化，由本课程复算：四阶导数（虚线）与八阶导数（实线）。圆点是幺正极小模型，第一个是位于

(1/8,\,1)

的 Ising 模型。曲线上方被排除。

来源：D. Simmons-Duffin · D. Poland

完整例题：测量拐点

取 $\Lambda=8$ 、自旋保留到 $20$ ，上限在 $\Delta_\sigma=0.1$ 、 $0.125$ 、 $0.15$ 处分别是 $0.7454$ 、 $1.0026$ 、 $1.0866$ 。跨过 Ising 点，斜率从 $10.3$ 降到 $3.36$ ，相差 $3.06$ 倍。

只用四阶导数，两侧斜率是 $3.98$ 和 $4.00$ ，根本没有拐点。用十二阶导数，斜率是 $13.7$ 和 $2.91$ ，相差 $4.70$ 倍。信息越多，拐角越尖，真实的特征就该如此。

$\Lambda$ 从 4 到 8 再到 12，Ising 点处的上限从 $1.0265$ 降到 $1.0026$ ，再到 $1.0004$ 。它从上方逼近精确值 $\Delta_\varepsilon=1$ ，而且从不越过，因为 Ising 模型是存在的。

\Lambda=8:\ \ \frac{1.0026-0.7454}{0.025}=10.3,\qquad \frac{1.0866-1.0026}{0.025}=3.36

在 Ising 点两侧用同样步长做有限差分。

来源：D. Simmons-Duffin · D. Poland

检验截断

二维搜索只能保留有限个自旋和有限的量纲范围。在 $\Lambda=8$ 时只保留到自旋 $4$ ，搜索会把间隙一直排除到 $0.30$ ，也就是扫描窗口的底部。Ising 模型连同其他一切都被排除了。

只在间隙以上 $2$ 个单位内采样， $\Delta_\sigma=1/8$ 处的上限变成 $0.9717$ ，同样低于 Ising 的值。把自旋截断提到 $8$ ，或把范围提到 $6$ ，上限就回到 $1.0026$ 。放宽截断后仍停在原处的上限，才可信。

来源：D. Simmons-Duffin · D. Poland

到实验里试一试

找到拐点，再试着伪造它

在默认预设下看这条曲线，找到它转弯的地方，读出 Ising 点处的上限。
比较“导数太少”和“导数更多”两个预设。先预测哪一个拐角更尖，再去看。
选“自旋太少”预设，说明为什么排除了 Ising 模型就证明截断出了问题。

练习与解答

Ising 模型的 $\sigma\times\sigma$ 包含单位算符、 $\varepsilon$ 和自旋为 $2$ 的能动张量。标量间隙上限约束的是哪一个？它的量纲是多少？
展开解答
最轻的非单位标量 $\varepsilon$ ， $\Delta_\varepsilon=1$ 。能动张量自旋为 $2$ ；在这次搜索中，带自旋的算符只需满足 $\Delta\ge\ell$ 。
某个理论 $\Delta_\sigma=0.15$ ，最轻的标量在 $1.1$ 。在 $\Lambda=8$ 时它被允许吗？
展开解答
不允许。那里的上限是 $1.0866$ ，低于 $1.1$ ，所以在给定假设下搜索排除了它。
某种截断在 $\Delta_\sigma=1/8$ 处给出上限 $0.97$ 。不再做任何计算，你能得出什么结论？
展开解答
这个截断是错的。Ising 模型在这一点是自洽的幺正理论， $\Delta_\varepsilon=1$ ，所以任何有效上限都至少是 $1$ 。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
S. Rychkov and A. Vichi, Universal constraints on conformal operator dimensions, arXiv:0905.2211v2; Phys. Rev. D 80, 045006 (2009)
第 2 版。式 (2.8)：用共形块写出的交叉求和规则。第 3 节，式 (3.1)—(3.2)：正性论证，即用对称点处导数构成的线性泛函排除一种谱。表 2：该文的二维上限。
D. Poland, S. Rychkov and A. Vichi, The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques, and Applications, arXiv:1805.04405v3; Rev. Mod. Phys. 91, 015002 (2019)
第 3 版。第 IV.A 节：在离散化的量纲集合上做线性规划，综述称这种做法已经过时，但有教学价值。第 IV.B 节：半定规划，用多项式近似对所有量纲施加正性，并截断自旋，求解器用高于机器精度的算术。图 5：能或不能以正系数相加为零的向量，以及分隔平面。图 7：三维单个关联函数的上限，Ising 模型位于拐点附近。图 12、14、15：混合关联函数得到的三维 Ising 孤岛。表 II：三维 Ising 模型的稳定算符。孤岛与该表只作阅读材料。