FR37 · 共形自举

二维 Ising 自举上限：截断改变后拐点还在吗？

二维 Ising 模型真的处在自举上限的边缘，还是只是问题截断方式造成的假象？ 只要截断合理，它就是真的。二维中第一个标量的自举上限正好在临界 Ising 模型所在处急剧转折，增加导数只会让上限向它靠拢。保留的自旋太少或量纲范围太短，搜索会把 Ising 模型本身也排除掉，说明截断已经坏了。

描出二维共形场论第一个标量的自举上限，看 Ising 点落在拐点上。改变导数、自旋和量纲范围，看哪些结论站得住。

\Delta_\phi=1/8

处的最大标量间隙 $\Delta_0^{\max}=1.0026$

二维 Ising 自旋与能量算符 $(\tfrac18,\,1)\ \text{允许}$

可拖动的探针点 $\text{被排除}$

探针处的证据 $\min_\Delta\hat\alpha=0$

给上限做压力测试

导数阶数

8

\Lambda

保留的最大自旋

20

\ell_{\max}

采样的量纲范围

36

\Delta_{\mathrm{span}}

在平面上任意拖动探针点，或选一个破坏截断的预设。

模型、方法与来源

$\sum_{\ell\le\ell_{\max}}\sum_{\Delta}p_{\Delta,\ell}\,\vec F_{\Delta,\ell}=-\vec F_0,\quad \Delta\ge\Delta_0\ (\ell=0),\ \Delta\ge\ell$

每个交叉向量包含对称点处直到所选阶数的导数。每个自旋在所选范围内采样约 120 个标量量纲或 60 个带自旋量纲，另加五个远处的点。Ising 量纲处的上限二分到万分之一，其他地方到千分之一。这些上限已用同一套代码为每一种滑块设置预先算好，页面重放记录下的每一步。单点检查现场计算，并在更细的网格上做割平面加细。

Simmons-Duffin, TASI lectures (2016), §10 · Rychkov & Vichi (2009)

读：Ising 拐点

模型假设

二维中四个相同标量的交叉方程被化成一个线性规划。对每个外算符量纲，用二分法找出任何泛函都排除不了的最大标量间隙；计算只保留截断以内的偶数自旋，以及选定范围内的采样量纲。二维 Ising 的自旋算符和能量算符分别在八分之一和一处。TASI 讲义表 1 的已发表数值作为参照点给出，不当作数据。正性只在采样点上施加，所以排除是数值证据，不是证明。自旋太少或量纲范围太短，上限会把 Ising 模型本身也排除掉；那是截断造成的假象。

导数越多，越接近已发表的上限

自旋太少，上限就塌下来

更多数值与计算方法

上限数值的来源: $0$
每个交叉向量的分量数: $0$
保留的偶数自旋个数: $0$
每个自旋的密集量纲网格: $0$
上限曲线上已描出的点: $0$
探针位置: $0$

页面上的每个上限都已用本页自己的线性规划和容差，为每一种滑块设置预先算好。页面保存二分法每一步的判定并重放，所以数值与现场求解完全相同。二维 Ising 检查和探针点则在你的浏览器里现场求解。

第一张图中的圆圈是 Simmons-Duffin TASI 讲义表 1 的已发表数值，只作参照，不是本页计算的结果。红点表示直到搜索窗口底部的所有间隙都被排除。假设：四个相同标量，只交换偶数自旋，幺正性，正性只在采样量纲上施加。

先抓重点

核心问题: 二维 Ising 模型真的处在自举上限的边缘，还是只是问题截断方式造成的假象？
一句话直觉: 自旋足够多、量纲范围足够宽时，增加导数只会让上限向 Ising 值下降，拐点更尖。反过来，砍掉自旋或缩短范围，搜索就会找到连 Ising 模型本身也排除的泛函，这说明截断已经坏了。

核心数学模型

带自旋的交叉方程

\sum_{\Delta,\ell}p_{\Delta,\ell}\,\vec F_{\Delta,\ell}=-\vec F_0,\qquad p_{\Delta,\ell}\ge0,\ \ \Delta\ge\ell

每个交换算符带有一个量纲和一个偶数自旋 $\ell$ 。在二维中，幺正性要求 $\Delta\ge\ell$ 。

Ising 点

\Delta_\sigma=\tfrac18,\qquad \Delta_\varepsilon=1

这是二维 Ising 共形场论的精确结果；上限从这一点上方很近的地方经过。

已发表的收敛数据

\Delta_\varepsilon^{\max}\bigl(\Lambda=6,\,8,\,12\bigr)=1.020,\ 1.0027,\ 1.00053

Simmons-Duffin，TASI 讲义，表 1。本实验用自己的求解器复现这些数值。

常见难点

更低的上限不一定更好

容易误解某个截断给出更低的上限，就是更强的结果。

正确理解更低的上限也可能来自漏掉了算符。这时真实理论需要正性的地方没有施加正性，泛函就会排除确实存在的理论，比如 Ising 模型。

动手实验

01
找到拐点
从默认状态开始，等曲线描完。
你会看到： 上限先陡升，在白色星形处转折，然后缓慢上升。
02
破坏截断
先选“自旋太少”预设，再选“范围太短”预设。
你会看到： 星形变红：搜索现在排除了 Ising 模型，这不可能是对的。
03
增加导数
回到默认状态，把导数阶数提高到 12。
你会看到： 收敛图从上方逼近已发表的数据点，拐点更尖。

二维 Ising 自举上限：截断改变后拐点还在吗？

一个拐点，以及怎样判断它是真的

核心数学模型

带自旋的交叉方程

Ising 点

已发表的收敛数据

常见难点

更低的上限不一定更好

动手实验

找到拐点

破坏截断

增加导数

相关实验与文章

从临界链到二维上限的拐点