怎样读 TASI bootstrap 讲义的表 1 与图 27

图 27 画的是什么

横轴是外算符量纲 $\Delta_\phi$ ，范围约从 $0.05$ 到 $0.30$ 。纵轴是 $\Delta_0$ ，即 $\phi\times\phi$ 中最轻标量的量纲。曲线上方被排除，下方被允许。假设见式 (199)：一个符号翻转对称、偶自旋，以及二维幺正性条件。

曲线对应导数截断 $\Lambda=6,8,12,16,20,28$ ，颜色最深的是 $\Lambda=28$ ，图注说这用到 105 维的泛函空间。黑点是幺正极小模型，第一个就是 Ising 模型；虚线是一族自由玻色子。

N(\Lambda)=\tfrac12\Bigl\lfloor\tfrac{\Lambda+1}{2}\Bigr\rfloor\Bigl(\Bigl\lfloor\tfrac{\Lambda+1}{2}\Bigr\rfloor+1\Bigr),\qquad N(8)=10,\ \ N(12)=21,\ \ N(28)=105

独立导数的个数，见式 (198) 的脚注。它大约随截断的平方增长。

(\Delta_\phi,\Delta_0)=\Bigl(\tfrac12-\tfrac{3}{2(m+1)},\ 2-\tfrac{4}{m+1}\Bigr),\qquad m=3,4,5,6

图注中极小模型的位置。

m=3

就是位于

(1/8,\,1)

的 Ising 模型。

二维中最大允许的

\Delta_\varepsilon

随

\Delta_\sigma

的变化，由本课程复算：四阶导数（虚线）与八阶导数（实线）。圆点是幺正极小模型，第一个是位于

(1/8,\,1)

的 Ising 模型。曲线上方被排除。

来源：D. Simmons-Duffin · S. Rychkov and A. Vichi

表 1 列了什么

表 1 给出 $\Delta_\phi=1/8$ 处各截断的上限：从 $\Lambda=6$ 到 $28$ ，依次是 $1.020$ 、 $1.0027$ 、 $1.00053$ 、 $1.000043$ 、 $1.0000070$ ，以及约 $1.0000005$ 。正文指出最后一个与精确值相差不到 $5\times10^{-7}$ 。

有两点值得注意。上限从上方逼近 Ising 的值，从不越过。而且逼近很稳定：表中每往后一列，剩下的距离就缩小 5 到 14 倍。正因为收敛这么稳定，读者才能把拐点当作真实特征。

来源：D. Simmons-Duffin

完整例题：复现三个数

稳健性 Lab 和基准脚本使用相同的假设，采用带切平面的离散线性规划，并把自旋截断在某个值。在 $\Lambda=6$ 、 $8$ 、 $12$ 时，它们给出 $1.019827$ 、 $1.002621$ 、 $1.000443$ 。

与表中数值的差是 $-1.7\times10^{-4}$ 、 $-7.9\times10^{-5}$ 、 $-8.8\times10^{-5}$ 。第一个在 $1.020$ 的舍入范围内。三个都为负，正是第 6 章预言的方向：只在采样点上检查正性，会多放过一些泛函，所以采样上限略低于连续问题的上限。

同样的数据还可以和极小模型的点对照。在 $\Lambda=8$ 时，课程算出的上限比 Ising 点高 $0.0026$ ，比位于 $(0.2,\,1.2)$ 的 $m=4$ 点高 $0.049$ ，比 $m=6$ 点高 $0.10$ 。每个点都被允许，而 Ising 模型离边界最近，远远近于其他点。

\Lambda=6:\ 1.0198\ \text{vs}\ 1.020,\qquad \Lambda=8:\ 1.00262\ \text{vs}\ 1.0027,\qquad \Lambda=12:\ 1.00044\ \text{vs}\ 1.00053

前一个是课程复现值，后一个是表 1 发表值。

来源：D. Simmons-Duffin · D. Poland

本课程没有复现的部分

课程的求解器使用双精度，二维时止于 $\Lambda=12$ ；讲义的每条曲线都用半定规划求解器 SDPB 算出。图 28 是三维上限，用 $\Lambda=24$ 算出，在 $(0.518,\,1.412)$ 附近有拐点。课程引用它，但不计算它。

后来工作中那些很小的允许量纲孤岛，来自同时使用多个关联函数，外加一个额外假设：只有少数几个标量是相关的。Poland、Rychkov 和 Vichi 的综述展示了它们。请把它们当作已发表的结果来读，本课程没有任何部分核验它们。

来源：D. Simmons-Duffin · D. Poland

到实验里试一试

拿 Lab 对照表 1

在默认设置下读出 Ising 点处的上限，与表 1 中同一截断的数值比较。
选“导数更多”预设。读数之前，先预测它与表中数值之差的正负。
把探针拖到下一个极小模型的位置，确认它是被允许的。

练习与解答

$\Lambda=20$ 时，二维泛函用到多少个独立导数？
展开解答
$\lfloor21/2\rfloor=10$ ，所以 $N=\tfrac12\times10\times11=55$ 。
$m=5$ 的极小模型在图 27 中位于哪里？
展开解答
在 $\Delta_\phi=1/2-3/12=0.25$ ， $\Delta_0=2-4/6\approx1.333$ 。课程在 $\Lambda=8$ 时那里的上限是 $1.411$ ，所以这个点被允许。
某次复现在每个截断上都比发表值略高。你首先会怀疑什么？
展开解答
不是采样：采样只会把上限往下推。应该去找更强的假设、多加的约束，或外算符量纲的不同归一化，并逐条比较所述假设。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
S. Rychkov and A. Vichi, Universal constraints on conformal operator dimensions, arXiv:0905.2211v2; Phys. Rev. D 80, 045006 (2009)
第 2 版。式 (2.8)：用共形块写出的交叉求和规则。第 3 节，式 (3.1)—(3.2)：正性论证，即用对称点处导数构成的线性泛函排除一种谱。表 2：该文的二维上限。
D. Poland, S. Rychkov and A. Vichi, The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques, and Applications, arXiv:1805.04405v3; Rev. Mod. Phys. 91, 015002 (2019)
第 3 版。第 IV.A 节：在离散化的量纲集合上做线性规划，综述称这种做法已经过时，但有教学价值。第 IV.B 节：半定规划，用多项式近似对所有量纲施加正性，并截断自旋，求解器用高于机器精度的算术。图 5：能或不能以正系数相加为零的向量，以及分隔平面。图 7：三维单个关联函数的上限，Ising 模型位于拐点附近。图 12、14、15：混合关联函数得到的三维 Ising 孤岛。表 II：三维 Ising 模型的稳定算符。孤岛与该表只作阅读材料。