共形对称把临界点归结为一张算符清单

从标度不变到共形对称

临界系统在平移、转动和整体缩放 $x\to\lambda x$ 下不变。实际上，它在每一点缩放倍数不同、但保持角度的变换下也不变。这类共形变换在上面的清单里加进了特殊共形变换。

缩放时，局域算符会乘上缩放因子的某个幂： $\mathcal O(\lambda x)\to\lambda^{-\Delta}\mathcal O(x)$ 。数 $\Delta$ 就是标度量纲。按这种方式变换、又不是其他算符导数的算符叫初级算符；初级算符的导数叫它的后代。

来源：S. Rychkov · D. Simmons-Duffin

对称性确定了什么

归一化之后，标量初级算符的两点函数被共形对称完全确定。式中的幂 $2\Delta$ 就是上一章的 $\eta$ ：Ising 自旋算符 $2\Delta_\sigma=1/4$ 。

三点函数被确定到每三个算符只剩一个数，即 OPE 系数 $\lambda_{123}$ 。四点函数没有被确定：一般依赖两个交比，在直线上依赖一个。这份自由度加上自洽性的约束，正是 bootstrap 用武之地。

\langle\mathcal O(x)\mathcal O(0)\rangle=\frac{1}{|x|^{2\Delta}},\qquad \langle\mathcal O_1\mathcal O_2\mathcal O_3\rangle=\frac{\lambda_{123}}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2}|x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}}

这里

x_{ij}=x_i-x_j

。三点函数里剩下的信息只有系数

\lambda_{123}

。

来源：D. Simmons-Duffin · S. Rychkov

算符乘积展开

两个算符靠近时，它们的乘积可以换成同一点上单个算符之和，系数随间距按幂次变化。每一项里的后代由对称性确定，真正的数据只有初级算符和系数 $\lambda$ 。

用两次算符乘积展开，任何四点函数都化成对交换初级算符的求和：每项权重是 $\lambda^2$ ，再乘上一个已知函数，叫共形块。下一章就讲这个求和。

\mathcal O_1(x)\,\mathcal O_2(0)=\sum_{k}\lambda_{12k}\,|x|^{\Delta_k-\Delta_1-\Delta_2}\bigl[\mathcal O_k(0)+\text{descendants}\bigr]

求和遍历初级算符。在幺正理论里，全同算符四点函数中出现的系数平方都非负。

来源：D. Simmons-Duffin

完整例题：从 64 个自旋的环读出量纲

在 $N$ 个格点的临界环上，每个算符对应一个能级：它高出基态的能隙是 $2\pi v\Delta/N$ ，以 $2\pi/N$ 为单位的动量就是自旋。横场链里 $v=2J$ 。

取 $N=64$ ，精确能隙乘以 $N/2\pi v$ 后是 $0.12501$ 、 $0.9999$ 、两个 $1.1246$ 和 $1.9986$ 。第一个是自旋算符 $\sigma$ ，量纲 $1/8$ ；第二个是能量算符 $\varepsilon$ ，量纲 $1$ 。两个 $9/8$ 是 $\sigma$ 的一阶导数，自旋为 $\pm1$ ； $2$ 处是二阶的态。

256 个格点时，同样的数是 $0.125$ 、 $0.99999$ 、 $1.12498$ 和 $1.99991$ ，修正大约按 $1/N^2$ 减小。基态能量给出中心荷 $c=0.500002$ ，精确值是 $1/2$ 。

来源：G. B. Mbeng · D. Simmons-Duffin · J. Cardy · H. W. J. Blöte

到实验里试一试

在能谱里找出 Ising 算符

在临界预设下打开第二张图。先预测橙色点会落在哪几条虚线上。
按能量和动量认出自旋算符、能量算符以及它们的一阶后代。
切换到十六个自旋，记下每个能级离开虚线多远。

练习与解答

Ising 自旋的两点函数按 $|x|^{-1/4}$ 衰减。 $\Delta_\sigma$ 是多少？
展开解答
幂次是 $2\Delta_\sigma$ ，所以 $\Delta_\sigma=1/8$ 。
128 个临界自旋的环，奇宇称第一能隙为 $E_1-E_0=0.012272J$ 。取 $v=2J$ ，它给出多大的量纲？
展开解答
$\Delta=N(E_1-E_0)/(2\pi v)=128\times0.012272/(4\pi)=0.1250$ ，正是 Ising 自旋的量纲。
为什么初级算符的三点函数只能含一个自由的数？
展开解答
共形变换可以把三个点移到 $0$ 、 $1$ 和无穷远，位置上不剩任何不变组合，函数因此只差一个整体常数，也就是 OPE 系数。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
S. Rychkov, EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D ≥ 3 Dimensions, arXiv:1601.05000v2 (2016)
第 2 版。第 1.1 节：不动点与临界点的标度不变性。第 1.3.4 节：初级算符的变换规则。第 2.2 节：初级标量的两点与三点函数。第 3.1.3—3.1.4 节：态—算符对应与柱面图像。第 3.3 节：算符乘积展开。第 4.3.1 节，式 (4.14)—(4.16)：极小模型，以及二维 Ising 模型的中心荷、自旋算符与能量算符的量纲。
G. B. Mbeng, A. Russomanno and G. E. Santoro, The quantum Ising chain for beginners, arXiv:2009.09208v2 (2020)
第 2 版。第 1—3 节：用 Jordan-Wigner 变换把链映成自由费米子。式 (55)：均匀链的准粒子能量，横场 Ising 环是其中完全各向异性的情形。式 (247)—(249)：基态关联函数写成行列式。课程据此计算周期横场 Ising 环，并用八格点精确对角化核对。
H. W. J. Blöte, J. L. Cardy and M. P. Nightingale, Conformal invariance, the central charge, and universal finite-size amplitudes at criticality, Phys. Rev. Lett. 56, 742 (1986)
只读了摘要，没有打开论文正文，所以课程中没有任何公式或数值取自这篇文章。摘要说，临界条带自由能的有限尺寸修正，其幅度与中心荷成线性关系。课程使用的系数取自下面 Cardy 的讲义。
J. Cardy, Conformal Field Theory and Statistical Mechanics, Les Houches lectures, arXiv:0807.3472v1 (2008)
第 1 版。第 5.1 节，式 (19) 及其后的正文：周长为 L 的柱面上，哈密顿量由标度量纲和中心荷决定，所以基态能量含有带中心荷的普适项，激发能隙给出标度量纲。讲义把速度取为一，课程补回链的速度。