FR37 · 共形自举

量子临界 Ising 链：每个尺度上都是同一个图样

为什么临界自旋链在 16 个自旋的环上和 256 个自旋的环上看起来一样？ 因为在临界横场下没有任何特征长度。自旋关联随距离按幂律下降，乘上环大小的固定次幂后，16 个自旋的环和 256 个自旋的环图样相同。按环大小重标的能级落在 Ising 共形场论给出的数上。离开临界横场，就出现关联长度，各个环不再一致。

比较 16 到 256 格点 Ising 环上的自旋关联。临界横场下，重标后的图样在每个环上都相同，能谱显出 Ising 共形场论。

探针处的关联 $C(16)=0.325$

局部衰减指数（Ising：

1/4

） $\eta_{\mathrm{eff}}=0.250$

重标自旋能隙（Ising：

1/8

） $\Delta_\sigma^{(N)}=0.125$

中心荷（Ising：

1/2

） $c_{\mathrm{eff}}=0.500$

调到临界点

横场

1

h/J

读数所用的环

N=128

N=2^k

探针间距

r/N=0.125

r/N

绕着环拖动探针，再把横场调离 1。

模型、方法与来源

$H=-J\sum_i\sigma^x_i\sigma^x_{i+1}-h\sum_i\sigma^z_i,\qquad E_0\simeq Ne_\infty-\frac{\pi v c}{6N}$

每个环都按自由费米子求解：关联是 Majorana 收缩的行列式，能级是准粒子能量之和。无论横场取多少，能隙都用临界速度 2J 重标。局部指数比较弦距离下 r 与 2r 处的关联。每格点的体能量用数值积分求得。

Mbeng, Russomanno & Santoro (2020), Eqs. 55, 247–249 · Cardy, Les Houches lectures (2008), Sec. 5.1, Eq. 19 · Simmons-Duffin, TASI lectures (2016), §10

读：标度不变性为什么重要

模型假设

五个周期横场 Ising 环，从 16 个到 256 个自旋，按自由费米子精确求解。每个格点按它与顶部自旋的关联着色，并乘上环大小的四次方根。在临界横场下，这个乘积只取决于两个自旋之间占环长的比例，所以每个环颜色都一样。重标后的能隙逼近 Ising 共形场论的量纲八分之一、一和八分之九，基态能量给出中心荷二分之一。离开临界横场，各个环就对不上。全部为计算结果，没有实测数据。

临界点上所有环落在同一条曲线

能级落在 Ising 共形场论的量纲上

更多数值与计算方法

读数所用的环: $0$
探针间距（格点数）: $0$
第一个偶宇称能级，重标后（Ising：1）: $0$
图中 2.4 以下的能级数: $0$

第一张图的虚线是共形形状，只在半环处按 256 格点的临界环归一化一次，不随横场改变。无论横场取多少，能隙都除以临界速度 2J，所以离开临界点后，重标后的数值不再是量纲。

先抓重点

核心问题: 为什么临界自旋链在 16 个自旋的环上和 256 个自旋的环上看起来一样？
一句话直觉: 临界横场下，关联随距离按幂律下降，所以乘上环大小的固定次幂后，每个环都一模一样。按环大小重标的能级，会落到 Ising 共形场论给出的那些数上。

核心数学模型

环上的幂律

\langle\sigma^x_0\sigma^x_r\rangle\propto\Bigl[\tfrac{N}{\pi}\sin\tfrac{\pi r}{N}\Bigr]^{-2\Delta_\sigma},\qquad 2\Delta_\sigma=\eta=\tfrac14

环上起作用的是弦长。乘以 $N^{1/4}$ 之后，只剩下 $r/N$ 的函数。

能级就是标度量纲

E_n-E_0\simeq\frac{2\pi v}{N}\,\Delta_n,\qquad \Delta_n\in\{\tfrac18,\,1,\,\tfrac98,\,2,\dots\}

有 $N$ 个格点的临界环就是柱面上的共形场论，所以每个能隙都是一个标度量纲乘以 $2\pi v/N$ ，推导见 Cardy 的讲义；这里 $v=2J$ 。

由基态能量得到中心荷

E_0=Ne_\infty-\frac{\pi v c}{6N}+\dots,\qquad c=\tfrac12

同一个柱面公式把中心荷放进基态能量的 $1/N$ 项。环的精确能量在 $N=256$ 时给出 $c=0.500002$ 。

常见难点

有序相的环看起来也相似

容易误解只要各个尺寸的关联看起来差不多，链就一定是临界的。

正确理解有序相里关联趋于常数，原始数值也会对得上。真正的检验是重标后的图样：乘上环大小的因子后，有序相的环越大越亮。

动手实验

01
比较各个环
从临界预设开始，跟着探针转一圈。
你会看到： 在每个角度，五个环颜色都相同；第一张图里的曲线彼此重合。
02
离开临界点
把横场调到 0.8，再调到 1.2。
你会看到： 各环分开：有序时外圈更亮，无序时颜色迅速褪去。中心荷降到零。
03
读能谱
回到临界横场，看第二张图。
你会看到： 重标后的能级落在 $\tfrac18,\ 1,\ \tfrac98$ 和 $2$ 的虚线上。

量子临界 Ising 链：每个尺度上都是同一个图样

临界链没有特征长度

核心数学模型

环上的幂律

能级就是标度量纲

由基态能量得到中心荷

常见难点

有序相的环看起来也相似

动手实验

比较各个环

离开临界点

读能谱

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