一个线性泛函怎样排除一整类谱

把交叉方程看成向量之和

把交叉方程的所有项移到一边。单位算符贡献一个固定函数 $F_0$ ，每个交换算符贡献 $F_\Delta$ ，权重是 $c_\Delta^2\ge0$ 。对每个 $z$ ，它们的和都必须为零。

在 $z=1/2$ 附近对每个函数作泰勒展开。因为每个 $F_\Delta$ 在 $z\to1-z$ 下变号，只剩奇数阶。保留到 $\Lambda$ 阶，每个函数就变成一个有 $(\Lambda+1)/2$ 个分量的向量。

F_0+\sum_{\Delta\ge\Delta_{\mathrm{gap}}}c_\Delta^2\,F_\Delta=0,\qquad F_\Delta(z)=(1-z)^{2\Delta_\psi}k_\Delta(z)-z^{2\Delta_\psi}k_\Delta(1-z)

要检验的假设是间隙：没有交换算符低于

\Delta_{\mathrm{gap}}

。

来源：D. Mazáč · S. Rychkov and A. Vichi

用一个不等式代替无穷多个未知数

设线性泛函 $\alpha$ ，即一组对泰勒分量的固定权重，在单位算符上为正，在每个允许的 $F_\Delta$ 上非负。把它作用到交叉方程上：左边是一个正数加上一些非负项，不可能等于零。

这个矛盾一次排除了带此间隙的所有谱，不管间隙之上的量纲和系数是什么。寻找这样的 $\alpha$ 是一个线性规划问题。如果找不到，求解器会反过来给出一组带正权重、满足截断方程的算符。

\alpha(F_0)>0\quad\text{and}\quad\alpha(F_\Delta)\ge0\ \ \text{for all }\Delta\ge\Delta_{\mathrm{gap}}\ \ \Longrightarrow\ \ \text{no consistent spectrum}

论证需要

c_\Delta^2\ge0

。没有幺正性，负权重就可能抵消正项。

来源：S. Rychkov and A. Vichi · D. Simmons-Duffin

完整例题：用两阶导数搭一个泛函

取 $\Delta_\psi=1/2$ ，保留一阶和三阶导数，即 $\Lambda=3$ 。在固定归一化下，各向量如下。 $F_\Delta$ 的第二个分量对轻算符为负，在 $\Delta=2.4456$ 处变号。

把间隙设为 $2.5$ 。泛函 $\alpha=(-1,\,21.65)$ 给出 $\alpha(F_0)=1$ ，在 $\Delta=2.5$ 处为零，在 $\Delta=3$ 、 $4$ 、 $6$ 处分别为 $12.0$ 、 $46.8$ 、 $123$ 。间隙以上没有什么能抵消单位算符，这个间隙被排除。

改设间隙为 $2.3$ 。这时 $F_{2.3}=(0.974,\,-0.111)$ 。任何归一化泛函 $(-1,a)$ ：若 $a\ge0$ ，在它上面为负；若 $a<0$ ，在 $F_3$ 上为负。求解器给出 $0.925\,F_{2.3}+0.091\,F_{3.365}=-F_0$ ，这是一份正的谱，所以在这一阶这个间隙是允许的。

于是两阶导数时，上限就是三阶分量的零点 $2.4456$ 。对线性规划做二分得到 $2.4457$ ，在其容差内是同一个数。

F_0=(-1,\,0),\quad F_{2}=(0.888,\,-0.271),\quad F_{3}=(1.074,\,0.604),\quad \alpha=(-1,\,21.65)

对称点处的一阶和三阶泰勒系数，归一化与 Lab 相同。

来源：D. Mazáč · S. Rychkov and A. Vichi

导数越多，上限越紧

每多一对导数，泛函就多一分自由，上限只会下降。 $\Delta_\psi=1/2$ 时， $\Lambda=3$ 给出 $2.4457$ ， $9$ 阶给出 $2.2316$ ， $13$ 阶给出 $2.1533$ ， $21$ 阶给出 $2.0893$ 。

自由费米子的第一个算符在 $2\Delta_\psi+1=2$ ，并且精确满足交叉方程，所以任何有效上限都不能低于 $2$ 。Mazáč 和 Paulos 用解析形式构造了泛函，证明 $2\Delta_\psi+1$ 就是最优上限。上面的数从上方慢慢逼近它。

来源：D. Mazáč · D. Mazáč and M. F. Paulos

到实验里试一试

排除一个间隙，再放它通过

在默认间隙下打开 Lab，确认间隙以上泛函曲线处处在零之上。
选三阶导数预设。先预测上限，再与读数比较。
把试探间隙降到上限以下，找出求解器改放的那些算符。

练习与解答

如果允许某个系数 $c_\Delta^2$ 为负，排除论证为什么会失效？
展开解答
那样 $c_\Delta^2\,\alpha(F_\Delta)$ 可能为负，抵消 $\alpha(F_0)>0$ 。总和可以为零，泛函就什么也证明不了。
在 $\Lambda=3$ 时，间隙 $2.4$ 被排除了吗？用三阶分量的变号来判断。
展开解答
没有。 $2.4$ 低于零点 $2.4456$ ，间隙处算符的三阶分量为负。和例题一样，没有任何归一化泛函能同时在它和 $F_3$ 上非负。
有人声称一个一维理论 $\Delta_\psi=1/2$ ，第一个交换算符在 $2.1$ 。本章哪个上限能排除它？
展开解答
$\Lambda=21$ 的上限 $2.0893$ 低于 $2.1$ ，这一阶能排除它。 $\Lambda=13$ 的上限 $2.1533$ 仍然允许它。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
D. Mazáč, Analytic bounds and emergence of AdS2 physics from the conformal bootstrap, arXiv:1611.10060v1; JHEP 04 (2017) 146
第 1 版。式 (2.12)—(2.17)：直线上全同算符的四点函数、交比、单变量共形块与交叉方程。式 (2.18) 与图 2：数值间隙上限；正文说导数越多，它越收敛到外算符量纲的两倍加一。式 (2.19)—(2.23)：取到这个上限的广义自由费米子，以及极值泛函的零点。图 1：典型极值泛函的作用。
S. Rychkov and A. Vichi, Universal constraints on conformal operator dimensions, arXiv:0905.2211v2; Phys. Rev. D 80, 045006 (2009)
第 2 版。式 (2.8)：用共形块写出的交叉求和规则。第 3 节，式 (3.1)—(3.2)：正性论证，即用对称点处导数构成的线性泛函排除一种谱。表 2：该文的二维上限。
D. Mazáč and M. F. Paulos, The analytic functional bootstrap. Part II, arXiv:1803.10233v2; JHEP 05 (2019) 088
第 2 版。第 4 节：一维极值泛函，以及最优间隙上限等于外算符量纲的两倍加一，由广义自由费米子取到。