FR37 · 共形自举

共形自举上限：线性泛函排除间隙

一个线性泛函，能否说明不存在间隙这么大的一维自洽理论？ 间隙够大时可以。交叉对称要求所有算符加起来抵消单位算符项。如果有一个线性泛函，在间隙以上每个允许的算符上都非负，在单位算符上为正，就不存在自洽的谱。用的导数越多上限越紧，并逼近恰好落在上限上的自由费米子。

给一维交叉方程设一个间隙，搜索在所有允许的块上都非负的线性泛函。找到了，这个间隙就被交叉对称排除。

试探间隙 $\Delta_{\mathrm{gap}}=2.4$

这一阶允许的最大间隙 $\Delta_{\mathrm{gap}}\le 2.153\;(\Lambda=13)$

解析极限（自由费米子） $2\Delta_\psi+1=2$

证书检查 $\min_\Delta\hat\alpha=-2.72\times10^{-5}$

排除一个间隙

外算符量纲

0.500

\Delta_\psi

最高导数阶数

13

\Lambda

试探间隙

2.40

\Delta_{\mathrm{gap}}

沿量纲标尺拖动间隙。越过虚线上限，就会出现一个泛函。

模型、方法与来源

$\sum_{\Delta\ge\Delta_{\mathrm{gap}}}p_\Delta\vec F_\Delta=-\vec F_0,\quad p_\Delta\ge0$

在间隙以上采样约 125 个量纲，再在候选泛函低于零的地方补点（最多五轮）。第一阶段单纯形法判断可行性，它的对偶向量就是泛函。上限用二分法求到千分之一。正性在六倍细的网格上检查。

Mazáč (2016), Eqs. 2.15–2.21 · Mazáč & Paulos (2018), §4 · Simmons-Duffin, TASI lectures (2016), §10

推导泛函论证

模型假设

直线上四个相同算符的交叉方程可以写成一组向量之和，每个交换算符对应一个向量，分量是交叉对称点处的奇数阶导数。第一阶段单纯形法要么找到加起来等于单位算符项的正权重，要么给出一个对偶泛函：在间隙以上每个采样量纲上非负，在单位算符上为正。正性在更细的网格上检查，并用割平面加细；这是采样点上的数值证据，不是对整个区间的证明。解析极限就是自由费米子第一个算符的量纲，来自 Mazáč（2016）和 Mazáč、Paulos（2018）。

泛函对每个算符的作用

导数越多，上限越紧

更多数值与计算方法

每个交叉向量的分量数: $0$
加细后的采样量纲数: $0$
单纯形转轴次数: $0$
泛函最小处，或用到的权重数: $0$

泛函在单位算符上归一化为 1。证书检查把泛函作用除以泛函和交叉向量的长度；若出现很小的负值，说明采样点之间的正性没有完全成立。

物理教程

用一个泛函排除间隙

背景把交叉方程写成向量之和：每个交换算符对应一个向量，权重是 OPE 系数的平方，不能为负；单位算符贡献一个固定向量。自洽的理论必须用自己的算符向量把单位算符项抵消掉。

为什么值得理解假设所有交换算符都在某个间隙之上。如果有一个线性泛函，在所有允许的向量上非负，在单位算符上为正，那么任何正的组合都抵消不了单位算符项，这个间隙就不可能出现。

先抓重点

核心问题: 一个线性泛函，能否说明不存在间隙这么大的一维自洽理论？
一句话直觉: 高于上限时，搜索返回一个分隔泛函；低于上限时，返回能解截断方程的正权重。导数取得越多，上限越往下逼近自由费米子，而自由费米子恰好处在极限上。

核心数学模型

交叉向量

\vec F_\Delta=\Bigl(\partial_z^{\,n}\bigl[(1-z)^{2\Delta_\psi}k_\Delta(z)-z^{2\Delta_\psi}k_\Delta(1-z)\bigr]_{z=1/2}\Bigr)_{n=1,3,\dots,\Lambda}

在对称点只有奇数阶导数不为零。 $\Lambda$ 决定搜索用多少个分量。

排除条件

\alpha(\vec F_0)>0,\qquad \alpha(\vec F_\Delta)\ge 0\ \ \text{for all}\ \Delta\ge\Delta_{\mathrm{gap}}

把泛函作用到交叉方程上，会得到“一个正数等于零”，这是矛盾。

上限逼近的极限

\Delta_{\mathrm{gap}}\le 2\Delta_\psi+1

Mazáč（2016）以及 Mazáč、Paulos（2018）用解析泛函证明了这个上限；自由费米子的第一个算符正好落在这里。

常见难点

网格上为正不等于证明

容易误解泛函在每个采样量纲上都非负，间隙就被严格排除了。

正确理解采样点之间，泛函可能略低于零。实验会加密网格并报告找到的最小值；严格证明需要在整个区间上为正。

动手实验

01
看分隔线
从“间隙太大：被排除”开始。
你会看到： 所有算符向量都在紫色线的一侧，需要被抵消的向量在另一侧。
02
降低间隙
把间隙把手拖到虚线上限以下。
你会看到： 分隔线消失，绿色箭头首尾相接，正好凑出目标向量。
03
增加导数
把导数阶数从 3 提高到 21。
你会看到： 上限曲线向自由费米子那条线下降，但从不越过它。

共形自举上限：线性泛函排除间隙

用一个泛函排除间隙

核心数学模型

交叉向量

排除条件

上限逼近的极限

常见难点

网格上为正不等于证明

动手实验

看分隔线

降低间隙

增加导数

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