自由场精确满足交叉方程

由两两配对拼成的关联函数

广义自由场的四点函数，是把四个点两两配对的三种方式加起来，每一对贡献一个两点函数。费米子有一种配对带负号。在直线上就得到下面的解析式。

交换 $z$ 和 $1-z$ 只是把三种配对重新排列，所以交叉方程精确成立。交换算符没有一个是人为放进去的，它们都来自展开这个解析式。

来源：D. Gaiotto · D. Mazáč

交换的算符

把解析式按共形块展开，得到一串双粒子算符。费米子交换的量纲是 $2\Delta_\psi+1$、$2\Delta_\psi+3$ 等；玻色子低一级，从 $2\Delta_\phi$ 开始。

每个系数 $c_n^2$ 都为正，并随 $n$ 迅速减小。取 $\Delta=1/2$，费米子的值是 $1$、$1/10$、$1/126$、$1/1716$，玻色子的值是 $2$、$1/3$、$1/35$、$1/462$。

来源：D. Gaiotto

完整例题：从泰勒级数读出系数

取 $\Delta_\phi=1/2$ 的玻色子。解析式减去单位算符是 $2z+z^2+z^3+\dots$。最轻的共形块是 $k_1=-\log(1-z)$，比较 $z$ 项得 $c_1^2=2$。

于是 $2k_1$ 给出系数为 $1$ 的 $z^2$ 项，已经吻合，不需要量纲 $2$ 的算符。到 $z^3$，它只给出 $2/3$，而需要的是 $1$。差额由块 $k_3=z^3+\dots$ 补上，$c_3^2=1/3$。

对费米子同样逐项比较：$z^2$ 项给出 $c_2^2=1$，$z^4$ 项给出 $c_4^2=1-9/10=1/10$。这些数和通式印出的每一位都相同，而两边是各自独立算出来的。

用这些系数，两个玻色子算符就给出 $A(0.3)=1.728406$，精确值是 $1.728571$；完整求和吻合到六位。

来源：D. Gaiotto · D. Mazáč

截断带来什么

只保留费米子的前三个算符。在 $z=1/2$ 处交叉残差严格为零，因为两边在同一点取值。在 $z=0.8$ 处是 $-4.46\times10^{-3}$，到 $z=0.9$ 处达到 $-3.36\times10^{-2}$。保留十个算符，$z=0.9$ 处的残差降到 $-5.87\times10^{-6}$。

这才是数值结论的诚实说法：有限的谱只能近似满足交叉方程，误差大小取决于看哪里。在 $z=1/2$ 处两个通道收敛得一样快，所以数值研究在那里对交叉方程求导。

来源：D. Mazáč · D. Simmons-Duffin