同一个四点函数展开两次，得到交叉方程

只剩一个数：交比

在直线上 $x_1<x_2<x_3<x_4$ 处放四个量纲为 $\Delta_{\mathcal O}$ 的全同算符。共形对称能把其中三个移到 $0$ 、 $1$ 和无穷远。第四个点就落在交比 $z=x_{12}x_{34}/(x_{13}x_{24})$ 上，它介于 $0$ 和 $1$ 之间。

除去一个由对称性确定的前因子，整个关联函数就是一个函数 $A(z)$ 。它不像两点和三点函数那样被确定，里面带着理论中每个算符的信息。

来源：D. Mazáč · D. Simmons-Duffin

同一个函数，两种展开

融合第 1、2 个算符， $A(z)$ 变成单位算符加上对交换初级算符的求和。每一项是 OPE 系数的平方乘上一个共形块，即一个初级算符连同它全部后代的贡献。在 $z=0$ 附近，块从 $z^\Delta$ 开始，所以最轻的算符占主导。

改为融合第 2、3 个算符，得到同样形式、但以 $1-z$ 为变量的求和，它在 $z=1$ 附近收敛最快。两种展开描述同一个函数，在两者都收敛的地方必须相等。这就是交叉方程。

k_\Delta(z)=z^\Delta\,{}_2F_1(\Delta,\Delta;2\Delta;z)=z^\Delta\Bigl(1+\tfrac{\Delta}{2}z+\dots\Bigr)

直线上的共形块是一个超几何函数。

0<z<1

时，它级数中的每一项都是正的。

(1-z)^{2\Delta_{\mathcal O}}A(z)=z^{2\Delta_{\mathcal O}}A(1-z),\qquad A(z)=1+\sum_{\Delta}c_\Delta^2\,k_\Delta(z)

未知量是量纲

\Delta

和系数

c_\Delta^2

。幺正理论中每个

c_\Delta^2

都非负。

直线上的四个全同算符。按

(12)(34)

配对融合（青色）得到第一种展开，在

z=0

附近收敛快；按

(23)(14)

配对（琥珀色）得到交叉展开，在

z=1

附近收敛快。交叉方程说两者描述同一个函数。示意图。

来源：D. Mazáč · D. Simmons-Duffin

为什么这很难满足

两边都是无穷求和，而且必须用同一份量纲和系数。稍微挪动一个量纲，左边在 $z=0$ 附近这样变，右边却那样变。其他算符必须跟着移动来补偿，而 $c_\Delta^2$ 非负限制了它们能怎样移动。

这种刚性就是 bootstrap 的核心想法。它不从拉格朗日量出发计算一个理论，而是问：哪些算符清单能满足交叉方程。

来源：D. Simmons-Duffin · S. Rychkov

完整例题：在一个点上核对自由费米子

量纲 $\Delta_\psi=1/2$ 的一维自由费米子有下面的解析形式。在 $z=0.3$ 处它给出 $A=1.128571$ 。交换算符的量纲是 $\Delta=2,4,6,\dots$ ，对应 $c^2=1$ 、 $1/10$ 、 $1/126$ 等。

先对第一通道求和： $k_2(0.3)=0.126948$ ，单位算符加一个算符得 $1.126948$ 。再加 $k_4(0.3)/10$ 得 $1.128555$ ，第三个算符把它带到 $1.128571$ 。三项就到了六位有效数字。

交叉通道需要 $A(0.7)$ 。解析式给出 $2.633333$ ，但级数在那里收敛很慢：一个算符给 $2.4157$ ，五个给 $2.63331$ ，要十个才到六位。乘以 $0.3/0.7$ 后回到 $1.128571$ ，两种展开一致。

现在把第一个算符从 $2$ 挪到 $2.35$ ，其余不动。 $z=0.3$ 处第一通道降到 $1.0900$ ，交叉通道升到 $1.1633$ 。一个算符放错，交叉方程就差了约百分之七。

A_\psi(z)=1+\frac{z}{1-z}-z=1+k_2(z)+\tfrac{1}{10}\,k_4(z)+\tfrac{1}{126}\,k_6(z)+\dots

两种写法都是精确的。后一种是第一通道展开，例题逐项把它加起来。

来源：D. Gaiotto · D. Mazáč

到实验里试一试

让两个求和一致，再破坏它

打开自由费米子预设，沿直线拖动第二个点，确认两个通道的读数始终相等。
先预测“挪动一个算符”预设会让残差曲线怎样变化，再选中它。
选“算符太少”预设，记下残差在直线上哪里变大，并用级数解释原因。

练习与解答

用 $k_\Delta(z)\approx z^\Delta(1+\Delta z/2)$ 估算 $k_2(0.3)$ 。它离 $0.126948$ 有多近？
展开解答
$0.09\times1.3=0.117$ 。级数下一项 $\tfrac{9}{10}z^2$ 乘 $z^2$ 再加 $0.0073$ ，得到 $0.1243$ ；其余各项补上剩下的百分之二。
不做任何求和，在 $z=0.5$ 处检验自由费米子的交叉方程。
展开解答
在 $z=0.5$ 处两边都是 $0.5\,A(0.5)$ ，交叉方程自动成立。对交叉方程求导时， $z=0.5$ 因此是自然的展开点。
为什么只保留两个交换算符，在 $z=0$ 附近很好，在 $z=1$ 附近却失效？
展开解答
每个块按 $z^\Delta$ 增长，所以在 $z=0$ 附近重算符被压低。在 $z=1$ 附近块变得很大、级数收敛很慢，缺失的项在交叉通道中就很重要。

来源与复算范围

D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)
第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。
D. Mazáč, Analytic bounds and emergence of AdS2 physics from the conformal bootstrap, arXiv:1611.10060v1; JHEP 04 (2017) 146
第 1 版。式 (2.12)—(2.17)：直线上全同算符的四点函数、交比、单变量共形块与交叉方程。式 (2.18) 与图 2：数值间隙上限；正文说导数越多，它越收敛到外算符量纲的两倍加一。式 (2.19)—(2.23)：取到这个上限的广义自由费米子，以及极值泛函的零点。图 1：典型极值泛函的作用。
D. Gaiotto, D. Mazáč and M. F. Paulos, Bootstrapping the 3d Ising twist defect, arXiv:1310.5078v2; JHEP 03 (2014) 100
第 2 版。第 4.1 节：一维广义自由场。式 (4.17) 与 (4.20) 给出费米子解和玻色子解的交换量纲与 OPE 系数；课程把它们重新求和，与解析的关联函数比较。
S. Rychkov, EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D ≥ 3 Dimensions, arXiv:1601.05000v2 (2016)
第 2 版。第 1.1 节：不动点与临界点的标度不变性。第 1.3.4 节：初级算符的变换规则。第 2.2 节：初级标量的两点与三点函数。第 3.1.3—3.1.4 节：态—算符对应与柱面图像。第 3.3 节：算符乘积展开。第 4.3.1 节，式 (4.14)—(4.16)：极小模型，以及二维 Ising 模型的中心荷、自旋算符与能量算符的量纲。