FR37 · 共形自举

交叉对称：一个四点函数，两种展开

同一套算符数据，从两对点分别展开，得到的关联函数一样吗？ 数据自洽时是一样的。四点函数可以先融合任意一对算符再求和，两种求和必须处处相等。自由费米子和自由玻色子的精确数据处处满足这个要求；挪动一个算符、改一个系数或保留的项太少，两种求和就对不上。

修改一维自由场的算符数据，比较四点函数的 s 通道与 t 通道求和。数据自洽时，两者在每个交比处都一致。

从第一对点展开 $A_s(0.30)=1.13$

从另一对点展开 $A_t(0.30)=1.13$

最大交叉残差 $\max|R|<10^{-12}$

第一个交换算符 $\Delta_1=2,\;c_1^2=1$

故意破坏交叉对称

外算符量纲

0.500

\Delta_{\mathcal O}

第一个算符的平移

0

\delta\Delta_1

其系数的倍数

1

c_1^2/c_{1,\mathrm{free}}^2

每个求和保留的算符数

40

N_{\mathrm{op}}

沿直线拖动第二个点，或在量纲轴上拖动闪烁的算符。

模型、方法与来源

$R(z)=(1-z)^{2\Delta_{\mathcal O}}A_s(z)-z^{2\Delta_{\mathcal O}}A_s(1-z)$

共形块由超几何级数求和得到。求和保留所选数目的交换算符；自由场解析式作为参照。残差在 161 个交比上采样。

Gaiotto, Mazáč & Paulos (2013), Eqs. 4.17, 4.20 · Mazáč (2016), Eqs. 2.15–2.21

推导两种展开

模型假设

四个相同的算符放在一条直线上：第一个在原点，第二个可以移动，第三个在 1 处，第四个在无穷远。s 通道把第一对点之间交换的算符的共形块加起来，t 通道用同一套数据按另一种配对求和。默认数据是广义自由费米子或玻色子的精确算符量纲与 OPE 系数（Gaiotto、Mazáč、Paulos 2013，式 4.17、4.20），虚线是关联函数的解析式。改动第一个算符或把求和截得太短，数据就不再满足交叉方程。全部为计算结果，没有实测数据。

同一个关联函数的两种展开

交叉残差（以 10 的幂计）

更多数值与计算方法

同一点的自由场解析值: $0$
残差最大的位置: $0$
第二个交换算符: $0$
每个求和保留的算符数: $0$
外算符量纲: $0$

导出文件列出每个算符修改后与自由场的量纲和系数，以及 161 个交比上的两种求和、解析值和残差。

先抓重点

核心问题: 同一套算符数据，从两对点分别展开，得到的关联函数一样吗？
一句话直觉: 自由费米子和自由玻色子的数据让两种求和在每个交比处都一致。挪动一个算符、改一个系数，或保留的项太少，一致性就被破坏；残差在某一种展开收敛慢的地方最大。

核心数学模型

直线上的共形块

k_\Delta(z)=z^{\Delta}\,{}_2F_1(\Delta,\Delta;2\Delta;z)

每个量纲为 $\Delta$ 的交换算符贡献一个共形块，权重是 OPE 系数的平方 $c^2$ 。

交叉方程

(1-z)^{2\Delta_{\mathcal O}}\Bigl[1+\sum_{\Delta}c_\Delta^2\,k_\Delta(z)\Bigr]=z^{2\Delta_{\mathcal O}}\Bigl[1+\sum_{\Delta}c_\Delta^2\,k_\Delta(1-z)\Bigr]

左边在 $z=0$ 附近展开，右边在 $z=1$ 附近展开。实验把两边之差画成交叉残差。

自由费米子的数据

\Delta_j=2\Delta_{\mathcal O}+2j+1,\qquad c_j^2=\frac{2\,(2\Delta_{\mathcal O})_{2j+1}^2}{(2j+1)!\,(4\Delta_{\mathcal O}+2j)_{2j+1}}

这些闭式系数求和后正好给出 $A(z)=1+\bigl(\tfrac{z}{1-z}\bigr)^{2\Delta_{\mathcal O}}-z^{2\Delta_{\mathcal O}}$ 。

常见难点

一点吻合不等于交叉对称

容易误解两个通道在对称点吻合，数据就自洽。

正确理解在 $z=\tfrac12$ 处，任何数据的残差都因对称性为零。交叉对称是对所有 $z$ 的要求，真正的信息在对称点处的奇数阶导数里。

动手实验

01
看两个通道
让第二个点沿直线来回移动。
你会看到： 靠近第一个点时青色柱只剩几个算符，靠近第三个点时琥珀色柱如此。两边的总和始终相等。
02
挪动一个算符
左右拖动闪烁的算符，或选择“挪动一个算符，交叉失败”。
你会看到： 残差在远离对称点的地方变大，标签显示两通道不再一致。
03
把求和截短
只保留两个算符。
你会看到： s 通道在第一个点附近仍然准确，第二个点靠近第三个点时就失效了。

交叉对称：一个四点函数，两种展开

一个关联函数，两种展开

核心数学模型

直线上的共形块

交叉方程

自由费米子的数据

常见难点

一点吻合不等于交叉对称

动手实验

看两个通道

挪动一个算符

把求和截短

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