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Sandbox Physics

光学 021 · 透镜把像成在哪里

薄透镜成像台

透镜把物体的像成在哪里?屏幕什么时候接得到? 成在物体每一点的光重新汇聚的地方。用凸透镜、物体在焦距以外时,这一点在透镜后面,屏幕放在那里就接到清晰、倒立的像。物体在焦距以内,或者换成凹透镜,光只是看起来从物体那一侧发出:这是虚像,透过透镜看得见,屏幕上却永远接不到。

沿光具座移动发光的 F:透镜要么把清晰的像投到屏上,要么成一个只能透过透镜看到的虚像。看像在哪里、有多大。

交互模型薄透镜成像台
像到透镜的距离—\text{—}
放大率(负号表示倒立)—\text{—}
屏上的模糊光斑—\text{—}
焦距—\text{—}
靶距是几倍焦距—\text{—}
F 的像高—\text{—}
屏幕亮度,相对默认光具座—\text{—}
这次记录追踪的屏幕像素—\text{—}

物理教程

找出透镜把像成在哪里

背景光具座上,一盏灯照亮的靶、一片透镜和一块白屏立在同一条导轨上。移动屏幕,直到屏上出现清晰、倒立的靶,这就是投影仪在做的事,也是相机对焦时做的事。同样这三个距离,还能说明为什么放大镜只能贴近书页才好用。

为什么值得理解知道像落在哪里、有多大,就知道相机的底片或传感器该放在哪,投影仪离墙要多远,也会明白为什么有些像根本投不到屏上。

先抓重点

核心问题
透镜把物体的像成在哪里?屏幕什么时候接得到?
一句话直觉
靶上每一点都向透镜送出一锥光。透镜让每条光线偏折,偏折量与它离透镜中心的距离成正比,于是整锥光在透镜后某一点重新汇聚,这一点就是该点的像,离透镜 s′s'。它由靶距 ss 和焦距 ff 决定。靶在焦距以内时,光锥穿过透镜后仍在散开,只是看起来来自靶这一侧的一点:这是虚像,哪块屏都接不住。

核心数学模型

薄透镜公式

1s+1s′=1f=P\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}=P

物距 ss 和像距 s′s' 都从透镜量起;凸透镜的 ff 为正,凹透镜为负;ff 以米为单位时,光焦度 P=1/fP=1/f 的单位是屈光度。s′s' 为负表示像在物体这一侧,是虚像(OpenStax《大学物理》第 3 卷式 2.19)。s=fs=f 时出射光平行,像在无穷远。

放大率

m=h′h=−s′sm=\frac{h'}{h}=-\frac{s'}{s}

像高 h′h' 与物高 hh 之比(式 2.22)。mm 为负表示倒立:单片透镜成的实像都是倒立的,虚像都是正立的。s=2fs=2f 时像与物等大,m=−1m=-1。

屏幕不在像的位置,看到的是模糊光斑

b=D∣1−Ls′∣,yL=−Ls yb=D\left\lvert 1-\frac{L}{s'}\right\rvert,\qquad y_{L}=-\frac{L}{s}\,y

经过直径 DD 的光阑、在 s′s' 处汇聚的光锥,到了 LL 处的屏幕上宽 bb。高度为 yy 的靶点,光斑以穿过透镜中心的那条光线为中心,落在屏上 yLy_{L} 处,所以不论清不清楚,屏上图案的位置和比例都一样。光阑越小,每个光锥越细,屏幕在更长一段距离内都能保持清楚。

默认透镜的 100 mm 从哪来

f=Rn−1=51.5 mm1.5168−1=99.7 mmf=\frac{R}{n-1}=\frac{51.5\,\mathrm{mm}}{1.5168-1}=99.7\,\mathrm{mm}

一面平、一面是半径 RR 的球面的透镜,焦距由这个式子给出。Thorlabs LA1509 的 R=51.5 mmR=51.5\,\mathrm{mm},材料 N-BK7 在 587.6 nm 处 n=1.5168n=1.5168,算出 99.7 mm,标称值是 100 mm ± 1 %。

常见难点

挡住一部分透镜,不会挡掉一部分像

容易误解收小光阑或遮住半个透镜,图像就少一块。

正确理解透镜的每一部分都收到靶上每一点的光,并把它送到同一个像点。开口变小,整个像变暗,屏幕不在位时还会更清楚,但完整的 F 一直都在。

没有屏幕,实像也在

容易误解像是屏幕造出来的。

正确理解光真的在像点汇聚,过了像点又散开。屏幕只是把这些光散射到你眼里;像本来就在空中,从像的后方朝透镜看过去,就能直接看到它。

虚像投不到屏上

容易误解屏幕挪得够远,总能找到像。

正确理解靶在焦距以内,或者用凹透镜时,离开透镜的光是散开的。屏幕放在哪里都聚不成一点:像只是光看起来发出的地方,在靶这一侧,只有透过透镜看的眼睛或相机才看得到。

放大率不只由透镜决定

容易误解一片透镜放大的倍数是固定的。

正确理解放大率取决于靶放在哪里,不只取决于透镜:同一片 100 mm 透镜,靶在 150 mm 处放大两倍,在 200 mm 处等大,在 500 mm 处只有四分之一。

动手实验

  1. 01

    先看一个清晰的像

    保持默认预设“投影:放大倒立”。

    你会看到: 屏上的 F 清晰、倒立、两倍大,高 20 mm。像距 300 mm,放大率 −2。
  2. 02

    拖动靶

    沿光具座把发光的 F 拖远,再拖回来。

    你会看到: 靶拖远,清晰的像就向透镜靠近、变小,屏上随之变模糊。场景里紫色的虚影标出像现在在哪;把屏幕挪过去,又清楚了。
  3. 03

    放到两倍焦距

    载入“两倍焦距:等大”。

    你会看到: F 在 200 mm 处,像也在 200 mm 处,等大、倒立:放大率 −1。
  4. 04

    做一台相机

    载入“相机:远处的靶,小像”。

    你会看到: F 在 500 mm 外,像在 125 mm 处,刚过焦点,只有四分之一大。远处的物体,像都落在离透镜约一倍焦距的地方。
  5. 05

    当放大镜用

    载入“放大镜:正立虚像”。

    你会看到: F 在 60 mm 处,进了焦距以内,光线穿过透镜后仍在散开。像是虚像,在靶这一侧 150 mm 处,正立、放大 2.5 倍。屏上只有模糊的光斑,模糊宽度随屏幕距离变化的曲线始终降不到零。
  6. 06

    换成凹透镜

    载入“凹透镜:总是缩小的虚像”。

    你会看到: 焦距 −100 mm 的透镜不论靶在哪里都让光散开。像是正立的虚像,0.4 倍大,在透镜前 60 mm。
  7. 07

    收小光阑

    载入“小光阑:不调焦也清楚”,再把光阑开回 25 mm。

    你会看到: 屏幕在清晰的像后面 60 mm。光阑 3 mm 时光斑只有 0.6 mm,F 还认得出;开到 25 mm,光斑变成 5 mm。小光阑放过的光只有全开时的 1.4 %。

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