光学 098 · 近场成像

负折射与超透镜

负折射率平板怎样让光反向偏折，又找回平时会衰减掉的精细细节？ 负折射率平板里，按 Snell 定律，折射光和入射光落在法线同一侧，相位前进的方向和能量流动的方向相反。理想平板还能放大倏逝波。最精细的细节靠这些波携带，平时它们还没到像面就衰减光了。实际材料有吸收，损耗限制了超透镜能有多清晰。

在双缝和近场探针之间放一块负折射率平板。先看光线往“错”的一侧偏折，再看相距不到一个波长的两条缝被分开，或被损耗抹成一团。

30 度入射时平板内的能流方向 $\text{—}$

正入射时平板内的相位波数 $\text{—}$

两条缝的像之间的凹陷 $\text{—}$

掩模到探针的通带边缘 $\text{—}$

把平板换成真空时的凹陷 $\text{—}$

把平板换成真空时的通带边缘 $\text{—}$

Smith 等（2003）对这一损耗和厚度的估计 $\text{—}$

平板后的理想像面 $\text{—}$

平板常数 $\text{—}$

记录的探针位置数 $\text{—}$

二维单频波动光学，长度以真空波长为单位。光为横磁偏振，磁场沿缝的方向。掩模上留两条同相照亮的 Gaussian 缝；一块无限宽的平板放在掩模后面、距离为它自身厚度的一半。每个横向波数依次穿过第一段间隙、平板和第二段间隙，平板透射用含多次反射的精确单板公式；探针读出所在位置的光强，不扰动光场。玻璃板的相对介电常数为 2.25，并带固定吸收 0.01。负折射率平板的介电常数和磁导率都等于负一，各自带上由损耗滑块设定的同样小的吸收。各向异性平板沿表面方向的介电常数为正一、垂直表面方向为负一并带同样吸收，磁导率为一。光线只用实部画出，沿能量流动的方向；圆点只表示相位推进的方向，不表示波的间距。通带边缘定义为一加上传递幅值（以一为上限）在全部倏逝波数上的积分。模型不含：真实负折射材料必须有的频率依赖、超材料的有限单元尺寸、探针本身对光场的影响、另一种偏振和噪声。横向积分使用在平板导模共振附近加密的网格；把网格再加密四倍，扫描曲线上任何一点的变化都不超过峰值的百分之一。

物理教程

分辨间距不到一个波长的两条缝

背景精细物体的细节，藏在横向变化很快的那部分光波里。这部分光波走不远，不到一个波长就衰减掉了，普通透镜根本接收不到它们，所以分辨不了比半个波长更细的结构。

为什么值得理解介电常数和磁导率都等于负一的平板，会让光往“错”的一侧偏折；按理论，它还能让衰减掉的光波重新长回来。平板后面的探针记录：相距 0.2 个波长的两条缝，到达时是两个峰还是一个峰。

先抓重点

核心问题: 平板什么时候能找回真空丢掉的细节？又是什么限制了它能找回多少？
一句话直觉: 在 $\varepsilon=\mu=-1$ 的平板里，衰减波增长的幅度，恰好等于它在两侧间隙里衰减掉的幅度；所以探针放在像面上时，从掩模到探针的传递对每个波数都等于一。真实材料都有吸收。损耗 $\delta$ 给这种增长封了顶，平板只能把波数恢复到大约 $\ln(1/\delta)$ 除以厚度。薄而低损耗的平板能分开两条缝，厚的或损耗大的就不行。

核心数学模型

负折射率下的 Snell 定律

\begin{gathered}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\\n_2=-1\ \Rightarrow\ \theta_2=-\theta_1\end{gathered}

能量越过法线，从入射的同一侧离开。平板内相位朝光源方向往回走，能量却在远离光源。

细节为什么在真空里衰减

\begin{gathered}k_z=\sqrt{k_0^2-k_x^2}=i\kappa\\H\propto e^{-\kappa z}\quad (k_x>k_0)\end{gathered}

横向波数 $k_x$ 大于真空波数 $k_0$ 时， $k_z$ 没有实数解，场随距离衰减；细节越细，衰减越快。

穿过平板的透射

\begin{gathered}T=\frac{1}{\cos(qd)-\frac{i}{2}\left(\eta+\frac{1}{\eta}\right)\sin(qd)}\\\eta=\frac{q}{\varepsilon_x k_z}\end{gathered}

$q$ 是厚度为 $d$ 的平板里的法向波数，公式已包含两个表面之间的全部多次反射。磁场沿缝方向时， $\eta$ 比较的是平板内外的切向电场。

完美透镜极限

\begin{gathered}\varepsilon=\mu=-1:\quad T=e^{-ik_zd}=e^{\kappa d}\\a+b=d\ \Rightarrow\ e^{ik_z a}\,T\,e^{ik_z b}=1\end{gathered}

平板把两段间隙里的衰减都补了回来。掩模在平板前 $a$ 处，像就在平板后 $b=d-a$ 处。

损耗怎样限制恢复

\begin{gathered}|T_{\text{total}}|\approx\frac{1}{1+(\delta/2)^2e^{2\kappa d}}\\k_{\max}\approx\sqrt{k_0^2+\frac{\ln^2(2/\delta)}{d^2}}\end{gathered}

取 $\varepsilon=\mu=-1+i\delta$ ，像面上的传递在 $\kappa d=\ln(2/\delta)$ 处降到一半。只在磁导率上加损耗时，Smith 等（2003）给出同样的主导形式 $k_{\max}\approx-\ln\delta/d$ 。

读数里用的通带边缘

\frac{k_{\text{edge}}}{k_0}=1+\int_{k_0}^{\infty}\min\left(|T_{\text{total}}|,1\right)\frac{dk_x}{k_0}

如果一条光路让某个波数以内的成分全部通过、以外的全部挡掉，它的边缘就落在这个波数上。很窄的共振峰，只按同样宽度的通带计入。

不靠负折射率的负折射

\frac{k_x^2}{\varepsilon_z}+\frac{k_z^2}{\varepsilon_x}=\mu k_0^2,\qquad \tan\theta_S=\frac{k_x/\varepsilon_z}{k_z/\varepsilon_x}

当 $\varepsilon_x>0$ 、 $\varepsilon_z<0$ 时，能流方向 $\theta_S$ 变成负的，相位却仍向前推进。能量往“错”的一侧偏折，衰减波却不会被放大。

常见难点

负折射不等于超透镜

容易误解只要平板让光往“错”的一侧偏折，就能突破衍射极限成像。

正确理解偏折传播光线，只能重新会聚本来就在传播的光波。要恢复精细细节，衰减波必须重新长起来，而这里的各向异性平板做不到。

平板并没有放大能量

容易误解场在平板里变强，说明平板在提供能量。

正确理解衰减波不把能量从物体带走，所以它的场可以变强而不需要任何能量增益，Pendry（2000）专门指出过这一点。传播波的能流照常守恒。

平板越厚不等于透镜越强

容易误解负折射率平板越厚，恢复的细节越多。

正确理解所需的增长随厚度指数上升，损耗设下的上限却不变，所以能恢复的最细波数大致与厚度成反比下降。

动手实验

01
看两条缝被分开
保持默认预设“近乎完美的透镜：两条缝分得开”，看探针扫一遍。
你会看到： 探针扫描出两个峰，中间凹下约 97%。把平板换成真空，同一个探针只看到一个峰。通带边缘约为真空波数的六倍。
02
换成玻璃
加载“玻璃板：细节消失”。
你会看到： 光线朝法线偏折，不再越过法线；通带边缘降到约 1.3，两条缝合成一个峰。
03
加上损耗
从默认状态出发，把材料损耗拖到 0.01，再拖到 0.1。
你会看到： 0.01 时凹陷仍有约 85%，通带边缘约 4.3。到 0.1 时边缘降到约 2.4，两个峰合在一起，这就是“损耗大”预设。
04
找到像面
从默认状态出发，把探针台往平板拖近，再拖远；或者加载“探针越过像面”。
你会看到： 探针在平板后约 0.1 个波长处凹陷最深，那里正是像面；到 0.3 个波长时凹陷消失。
05
只偏折能量，不恢复细节
加载“负折射，相位向前”。
你会看到： 能流光线往“错”的一侧偏折约 24 度，相位圆点却向前走。通带边缘停在 1.4 附近，两条缝仍然合在一起。