E30 · 电子波成像

HRTEM 相位衬度与 CTF

同一批原子，在高分辨电镜像里会从暗点变成亮点吗？ 会，调一下离焦就可能翻过来。离焦和球差决定了每个空间频率，也就是每种尺度的细节，以正号还是负号传进图像、传得多强。符号一翻，那部分细节就明暗颠倒。没核对衬度传递函数之前，图像再清晰，也不能直接当原子位置图看。

对一块缺少一个原子柱的薄晶体调焦：改变失焦、球差和试样倾角，同时观察投影相位和带符号的透镜传递。再显示已知原子柱位置，检查像中的亮点是否真的对应原子。

透镜传递 · 横向柱间距 $\text{—}$

样品因子 · 横向柱间距 $\text{—}$

图像均方根衬度 $0\,\mathrm{\%}$

最大样品相位 $0\,\mathrm{rad}$

更多测量与实验目标

电子波长 $0\,\mathrm{pm}$

Scherzer 失焦 $0\,\mathrm{nm}$

柱间距处相干包络 $\text{—}$

束在样品内的路程 $0\,\mathrm{nm}$

原子柱投影跨度 $0\,\mathrm{nm}$

实验目标 $\text{—}$

预设为模拟示例；各图标题注明数据来源。

失焦 · 负值为欠焦

\Delta f

-42\,\mathrm{nm}

球差系数

C_s

0.5\,\mathrm{mm}

弱相位样品厚度

t

4\,\mathrm{nm}

试样倾角 · 绕图像竖轴

\theta

0\,\mathrm{mrad}

焦距展宽 · 标准差

\sigma_f

2\,\mathrm{nm}

进阶设置

显示已知原子柱位置金圈标出已知原子柱的中点，横线表示倾转后的投影跨度。它们不改变探测器图像，位置来自给定样品。加速电压

V

200\,\mathrm{kV}

照明角展宽 · 标准差

\sigma_\alpha

0.1\,\mathrm{mrad}

物镜空间频率截止

q_{\max}

9\,\mathrm{nm^{-1}}

学习目标与模型边界

聚焦与样品取向

让暗原子柱变亮

把透镜传递调到 0.85 以上，显示已知位置并检查目标。再拖动样品调倾角，比较投影相位与成像。

模型假设

这是合成投影势的一阶弱相位模型，不对应任何具体材料。周期视场宽 3.84 nm，原子柱间距 0.32 nm；在整个控制范围内，最大相位都小于 0.24 rad。样品是有限厚度的薄片，高斯柱沿深度均匀延伸。倾转后，电子束沿同一份势积分，原子柱的横向投影拉宽，投影柱间距缩短；薄片关于中面对称，正负倾角给出相同相位。厚度沿薄片法线量取，电压改变相对论相互作用常数。投影近似忽略片内传播、吸收、多重散射、探测器噪声和原子弛豫。负失焦表示欠焦。焦距展宽和照明角展宽都是高斯标准差；空间包络按角度作一阶展开。图像使用固定的 0.7–1.3 线性显示范围。金圈标出已知柱中点，横线表示投影跨度，均为给定的样品参考。中继光路与样品厚度采用示意尺度，光线角度放大 12 倍，试样倾角按实际值绘制。图像由傅里叶相位传递计算。

先抓重点

核心问题: 同一批原子，在高分辨电镜像里会从暗点变成亮点吗？
一句话直觉: 透镜给每个空间频率乘上一个带符号的传递值：符号为负，这部分像就反转；传递为零，这部分就被抹掉。所以图像再清晰，也不一定直接标出原子位置。

核心数学模型

弱相位出射波

\begin{aligned}\psi_{\mathrm{exit}}(\mathbf r)&\simeq1+i\phi(\mathbf r)\\\phi(\mathbf r)&=\sigma V_{\mathrm{proj}}(\mathbf r)\end{aligned}

相位较小且忽略吸收。本实验直接用合成高斯原子柱定义相位，没有拟合某种材料的相互作用常数。

透镜相位与带符号传递

\begin{aligned}\chi(q)&=\pi\lambda\Delta f q^2+\frac{\pi}{2}C_s\lambda^3q^4\\H(q)&=e^{-i\chi(q)}\\T(q)&=A(q)E(q)\sin\chi(q)\end{aligned}

空间频率单位为每纳米的周期数，计算中的长度全部换算为纳米。负失焦表示欠焦；光阑接收截止频率以内的分量。

图像来自同一份相位

\begin{aligned}G(\mathbf q)&=T(q)\mathcal F\{\phi(\mathbf r)\}\\I(\mathbf r)&\simeq1+2\mathcal F^{-1}\{G(\mathbf q)\}\end{aligned}

这是强度的一阶展开，不是完整多层切片波函数的模平方。直流分量保持为一，图像不会自动拉伸衬度。

相干性限制传递

\begin{aligned}E_t&=e^{-\frac12(\pi\lambda q^2\sigma_f)^2}\\W(q)&=\Delta f q+C_s\lambda^2q^3\\E_s&=e^{-\frac12[2\pi\sigma_\alpha W(q)]^2}\\E&=E_tE_s\end{aligned}

焦距和照明角按高斯分布展宽，对相位差取平均。空间包络把透镜相位按照明角作线性展开，因此只是近似。

倾转改变投影样品

\begin{aligned}L_X&=L\cos\theta\\q_X&=q_x/\cos\theta\\\Delta X&=t\sin\theta\\M_{\rm cont}(q_x)&=\frac{\operatorname{sinc}(q_xt\tan\theta)}{\cos\theta}\\\operatorname{sinc}(s)&=\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}\end{aligned}

倾转轴沿图像竖直方向，厚度沿薄片法线量取，柱势在深度方向均匀延伸。沿电子束积分后，柱投影沿横向拉宽。公式给出连续势的傅里叶系数倍率，sinc 采用归一化定义，零点值为一。计算沿束路积分周期网格上的线性插值，样品因子读数取自这份离散积分。透镜按缩短后的横向柱间距计算频率，径向传递规律保持不变。

Scherzer 聚焦

\Delta f_{\mathrm{Sch}}\simeq-1.2\sqrt{C_s\lambda}

正球差时，这个常规欠焦能把第一个有效传递带展宽。球差为零时它给出零，而精确正焦不会产生一阶相位衬度。

常见难点

亮点并不总是原子

容易误解每个亮点都对应原子，与聚焦无关。

正确理解强度来自透镜加上随频率变化的相位之后的干涉。位置标记是另外给出的样品真值，不能用来认定实验中未知的结构。

厚度控制能预测什么

容易误解这里增加厚度就能定量预测厚晶体。

正确理解厚度缩放正入射弱相位，也决定倾转后的投影展宽。这里的柱势沿深度均匀延伸；离散原子层和厚晶体的动力学散射需要其他传播模型。

动手实验

01
先预测，再反转
选择“暗原子柱”并显示已知位置，再选择“衬度反转”，重新显示位置。
你会看到： 样品相位完全相同。透镜球差已校正，失焦一换符号，带符号的传递和模拟强度就跟着反转。
02
让晶体看起来消失
选择“正焦 · 消失”，比较相位图、均方根衬度和探测器。
你会看到： 相位仍然非零，但理想校正透镜精确正焦时，一阶相位衬度为零；这不表示样品消失了。
03
原子不动，信息仍会丢失
比较“Scherzer 聚焦”和“相干性下降”，再把物镜截止频率降到原子柱频率以下。
你会看到： 包络压低高频，光阑则直接去掉高频。位置标记照样显示样品真值，单看记录的图像却未必判断得出。
04
倾转有限厚度的薄片
选“倾转拉宽原子柱”，再保持厚度和聚焦不变，把试样倾角调回零。比较相位图、强度像和样品因子。
你会看到： 倾转把柱势摊向横向邻近位置，削弱横向晶格分量；竖向分量依然清晰。样品沿深度对称，正负倾角的投影相同，因此单凭这张像判不出倾转符号。
05
完成目标
调焦，让柱间距处传递超过 0.85，打开已知位置并核对目标。
你会看到： 你验证了一个频率带的符号；其他频率带可能符号不同，因此整张像比简单的亮暗规则更复杂。

HRTEM 相位衬度与 CTF

亮点是干涉的结果

核心数学模型

弱相位出射波

透镜相位与带符号传递

图像来自同一份相位

相干性限制传递

倾转改变投影样品

Scherzer 聚焦

常见难点

亮点并不总是原子

厚度控制能预测什么

动手实验

先预测，再反转

让晶体看起来消失

原子不动，信息仍会丢失

倾转有限厚度的薄片

完成目标

相关实验与文章

电子探针：读懂证据