光学 024 · 变焦而不失焦

变焦镜头挑战

移动镜组能否改变焦距，同时让像一直落在胶片上？ 能，只要另一组，也就是补偿组，按变焦组的位置沿一条弯曲的凸轮走。在佳能 1976 年的一个设计里，焦距这样从 7.24 mm 变到 68.8 mm，像一直固定在胶片上。补偿组不跟着走，像就偏离胶片约 1 mm；把凸轮做成直线，最多也差 0.79 mm。

推动一个镜组，让四组变焦镜头的焦距从 7.24 mm 变到 68.8 mm。另一组必须沿凸轮走，像才留在胶片上，偏离就糊。

整只镜头的焦距 $\text{—}$

像圈对应的视场角 $\text{—}$

像在胶片后的距离（负：在胶片前） $\text{—}$

远处一点在胶片上的模糊圆 $\text{—}$

凸轮上的补偿组位置，从前组量起 $\text{—}$

另一个清晰的补偿组位置 $\text{—}$

变焦组的放大率 $\text{—}$

补偿组的放大率 $\text{—}$

入瞳直径 $\text{—}$

光圈数 $\text{—}$

镜头取自佳能美国专利 3,972,591（M. Suwa，1976）的实施例 1，按空气中的四块薄透镜处理：前组 61.153 mm，变焦组 −15.120 mm，补偿组 35.716 mm；变焦比取专利的 9.504（68.79 mm 比 7.238 mm），两条解曲线的相切点在变焦组行程的 0.8 处。各组用 Kogelnik 和 Li（1966）的近轴光线传输矩阵组合；真实镜组的厚度、偏离玻璃的主平面和像差都没有计入。专利没有给出中继组（第四组）的单一焦距，这里取 58.1 mm，放在前组后 92 mm，使广角端焦距等于专利的 7.238 mm；胶片于是在前组后 119.3 mm。光阑放在中继组处，大小按专利的 F/1.4 确定；像圈直径 7.41 mm，由专利广角端 54.2° 的视场角确定。景物在无穷远，前组对近处物体的调焦不在模型里。模糊只按几何光学计算：一个点摊成由光阑决定的均匀圆盘，不计衍射、像差、渐晕和胶片颗粒。像离胶片不到 1 微米就算清晰；专利没有给出焦深。画出的轴外光来自画面中心到边缘的一半处，因为广角端来自画面边缘的光会在画出的前组之外穿过。专利没有给出各组口径，图中口径只够画出的光通过。镜头按比例绘制，长度和高度用同一比例。

物理教程

用凸轮让变焦镜头保持清晰

背景变焦镜头靠沿光轴移动镜组来改变焦距。只动一组，像也会跟着离开胶片，所以必须另有一组同时移动。这里用的是佳能 1976 年的设计：前组和后面的中继组不动，一个负的变焦组走直线，一个正的补偿组沿着一条弯曲的槽走，这条槽刻在一个转动的镜筒上，叫凸轮。

为什么值得理解电影和电视用的变焦镜头，摄影师在镜头里推拉时，画面必须一直清晰。电子显微镜用磁透镜也面临同样的问题：它改变透镜电流来改变放大率，同时还要让样品保持在焦点上。

先抓重点

核心问题: 移动镜组能否改变焦距，同时让像一直落在胶片上？
一句话直觉: 两个移动镜组要合力把前组的像送到同一个点，这就把它们各自物像距离之和固定住了。选定变焦组的放大率 $m_{2}$ ，补偿组就剩下两个放大率可选，乘积为 1： $m_{3}$ 和 $1/m_{3}$ 。凸轮沿其中一个走；焦距 $f_{1}m_{2}m_{3}m_{4}$ 变大九倍多，像却始终落在胶片上。

核心数学模型

透镜把像送多远

L=f\left(2-m-\frac{1}{m}\right)

焦距 $f$ 的薄透镜以横向放大率 $m$ 成像时，像在物后 $L$ 处。把 $m$ 换成 $1/m$ ，式子不变：物和像对调，距离一样。变焦组 $f_{2}=-15.12\,\mathrm{mm}$ ，变焦行程中间 $m_{2}=-0.645$ ，得 $L_{2}=-63.4\,\mathrm{mm}$ ，是在物前面的虚像。

齐焦条件

m_{3}+\frac{1}{m_{3}}=2-\frac{4(f_{2}+f_{3})-L_{2}}{f_{3}}

第二组和第三组合起来，要把前组的焦点送到中继组固定的物点，所以 $L_{2}+L_{3}$ 保持不变。专利让两条解曲线在两组放大率都等于 $-1$ 处相切，这就把这个值定为 $4(f_{2}+f_{3})=82.4\,\mathrm{mm}$ 。式子是 $m_{3}$ 的二次方程，两个根相乘等于 1：变焦中间是 $-0.751$ 和 $-1.33$ 。

整只镜头的焦距

f=f_{1}\,m_{2}\,m_{3}\,m_{4}

远处景物先在前组后 $f_{1}=61.153\,\mathrm{mm}$ 处成像，后面每一组再把这个像放大。这里中继组的放大率 $m_{4}=0.530$ 。广角端 $m_{2}=-0.406$ 、 $m_{3}=-0.550$ ，得 7.24 mm；长焦端是 $-1.58$ 和 $-1.35$ ，得 68.8 mm。这个数也等于整只镜头光线传输矩阵的 $-1/C$ ，Lab 里核对过。

模糊圆

b=D\,\frac{|\delta|}{s}

像成在离胶片 $\delta$ 处时，从直径 $D=19.5\,\mathrm{mm}$ 的光阑到像点（距离 $s$ ）的光锥，被胶片截成直径 $b$ 的圆。这里只算几何模糊，不计衍射和像差。

常见难点

补偿组也在变焦

容易误解焦距只由变焦组决定，补偿组只管对焦。

正确理解焦距是 $f_{1}m_{2}m_{3}m_{4}$ 。沿凸轮， $m_{2}$ 变 3.88 倍， $m_{3}$ 变 2.45 倍，合起来才是 9.50 倍。补偿组的路线，正是同时让像留在胶片上的那一条。

清晰位置有两个

容易误解每个变焦位置只有一个补偿组位置是清晰的。

正确理解因为 $m_{3}$ 和 $1/m_{3}$ 给出同样的 $L$ ，清晰位置有两个，直到在 $m_{3}=-1$ 处重合。第二个同样清晰，只是焦距不同；凸轮走不到那里。

直线凸轮不够准

容易误解只要补偿组在变焦两端位置正确，中间按直线移动就够了。

正确理解需要的路线是弯的。这里用直线凸轮，像最多偏离胶片 0.788 mm，模糊圆达 0.58 mm，对 7.41 mm 的像圈来说远远不够清晰。

胶片不用动

容易误解变焦时要保持清晰，胶片或传感器得跟着移动。

正确理解这个设计里前组、中继组和胶片都固定，只有中间两组移动。凸轮让它们合起来的物像距离保持不变，中继组的物点就始终在同一处。

动手实验

01
看凸轮上的镜头
保持默认预设“在凸轮上：变焦途中也清晰”。
你会看到： 变焦组在前组后 22.6 mm，补偿组在 81.0 mm。焦距 15.7 mm，视场角 26.5°，来自景物中心的光在胶片上会聚成一点。
02
沿凸轮变焦
把变焦组从行程一端拖到另一端。
你会看到： 补偿组沿镜筒上的槽走，变焦组向后移 27.6 mm，补偿组向前移 28.4 mm。焦距从 7.24 mm 变到 68.8 mm，模拟画面随之放大，模糊圆始终是一个点。
03
让补偿组掉队
载入“补偿组没跟上：画面变糊”。
你会看到： 补偿组停在广角端凸轮给的 88.2 mm，变焦组却已到中间。焦距 13.2 mm，但像成在胶片后 0.993 mm，每个点糊成 0.685 mm 的圆盘：这就是变焦距镜头，变焦后得重新对焦。
04
试试直线凸轮
载入“直线凸轮：只有两端清晰”。
你会看到： 把凸轮两端连成直槽，补偿组就在 74.0 mm。像落在胶片前 0.682 mm。过程行显示，这种凸轮只在两端清晰，在变焦组 19.2 mm 附近最多差 0.788 mm。
05
找第二个清晰位置
载入“第二个清晰位置：焦距更长”。
你会看到： 补偿组在 60.3 mm 时，像又落在胶片上，焦距却是 27.8 mm，不是 15.7 mm。它的放大率 $-1.33$ ，正是凸轮上 $-0.751$ 的倒数。
06
到相切点去
载入“两个清晰位置相遇处”。
你会看到： 变焦组在 30.9 mm 时，两组放大率都是 $m=-1$ ，两个清晰位置在 72.1 mm 处重合，焦距 32.4 mm。凸轮在这里从一条解曲线换到另一条，所以补偿组一直朝同一方向走，焦距也一直变长。
07
手动调焦
关掉“跟随凸轮”，移动变焦组，再用补偿组滑块把模糊圆收回成一个点。
你会看到： 有两个位置能做到。一个在凸轮上；另一个在凸轮图的紫色曲线上，焦距不同。

变焦镜头挑战

用凸轮让变焦镜头保持清晰

核心数学模型

透镜把像送多远

齐焦条件

整只镜头的焦距

模糊圆

常见难点

补偿组也在变焦

清晰位置有两个

直线凸轮不够准

胶片不用动

动手实验

看凸轮上的镜头

沿凸轮变焦

让补偿组掉队

试试直线凸轮

找第二个清晰位置

到相切点去

手动调焦

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