光学 030 · 成像、仪器与视觉系统

显微镜设计 Lab

搭建无限远校正显微镜，追踪独立 Köhler 视场与孔径共轭中继，并用计算的标量衍射像分辨固定样品双点。

带符号像倍率与视觉倍率

m, M_{\mathrm{visual}}

$0.50$

点与周期分辨率参考

d_R, p_{\mathrm{Abbe}}

$50\%$

对焦与轴上强度

\Delta z, S_0

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

先抓重点

核心问题: 物镜、照明与探测器应怎样分配数值孔径，才能分辨微小物体？
一句话直觉: 非相干双点的 Rayleigh 参考尺度为 $d_R=0.61\lambda/\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}$ 。明场周期结构分辨率还依赖照明孔径与相干性，其 Abbe 频谱支持估计不能与这个点源判据混为一谈。

m=-\frac{200\,\mathrm{mm}}{f_{\mathrm{obj}}},\qquad M_{\mathrm{visual}}=m\frac{250\,\mathrm{mm}}{25\,\mathrm{mm}}

tube lens 固定为 200 mm，松弛眼观察时的目镜为 25 mm，负号表示倒立。固定 NA 时，只改变物镜焦距不会改变物方分辨率。

d_R=\frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}},\qquad p_{\mathrm{Abbe}}=\frac{\lambda}{\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}+\min(\mathrm{NA}_{\mathrm{ill}},\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}})}

Rayleigh 描述两个非相干点。Abbe 表达式给出所述角向照明下的明场周期频谱支持上限，并非完整部分相干传递函数或对比度预测。

\mathbf P(f)\mathbf L(f)\mathbf P(2f)\mathbf L(f)\mathbf P(f)=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}

每个展开 4f 中继把同一场点的不同发射斜率送往同一个倒立像点。黄色表示视场光阑到样品，紫色表示光源到孔径瞳；两组共轭不可互换。

I(r,z)=\left|2\int_0^1\rho J_0(k\mathrm{NA}\,r\rho)\exp\!\left[\mathrm i kz\left(\sqrt{1-\mathrm{NA}^2\rho^2}-1\right)\right]\mathrm d\rho\right|^2

像卡叠加两个独立点强度，物方视场固定为 4 微米。零离焦退化为圆瞳 Airy 图样。均匀正弦瞳与标量近似不包含偏振和高 NA 矢量效应。

容易误解提高倍率一定能把未分辨的两个样品点分开。

正确理解倍率只放大同一幅光学图像。改变焦距时比较固定视场像卡：改善需要改变孔径、波长、对焦或成像方法，而不是增大显示尺寸。

01
场景 1：几何放大
在几何放大场景改变物镜焦距，比较样品位置、物镜瞳与带符号中间像倍率。固定 NA，确认像卡不会凭空增加细节。
应该观察到： 物镜焦距越短，像倍率越大；固定 NA、波长与离焦时，固定物方视场的衍射像卡保持一致。
02
场景 2：Köhler 照明
打开 Köhler 照明，调节照明 NA，分别跟随紫色光源／瞳中继和黄色视场中继。阅读 Abbe 支持估计时，不把它当作荧光 PSF。
应该观察到： 缩小照明孔径会改变明场周期频谱支持，而独立非相干点 PSF 保持不变。
03
场景 3：衍射受限分辨率
在衍射与对焦场景把样品离焦归零，再改变物镜 NA 与波长。两个固定点会合并或分开；拖动台面标注的 NA 控制点也能进行相同调节。
应该观察到： 更大 NA 改善合焦横向分辨率，却让同样的样品位移产生更强离焦；轴上强度反映这一权衡。