光学 030 · 成像、仪器与视觉系统

显微镜设计 Lab

显微镜能分辨的最小细节由什么决定？ 物镜能收进多宽的光锥，用数值孔径衡量，这决定了它能分辨的最小细节。照明要充满一个相当的光锥，常用 Köhler 照明来调。放大倍数再高，也只是放大物镜已经分辨出来的东西；探测器的像素还得够细，才采得下这些细节。

搭建一台无限远校正显微镜，分别追踪 Köhler 照明的视场中继和孔径中继，并在计算出的标量衍射像中分辨一对固定的样品点。

带符号像倍率与视觉倍率

m, M_{\mathrm{visual}}

$0.50$

点与周期分辨率参考

d_R, p_{\mathrm{Abbe}}

$50\%$

对焦与轴上强度

\Delta z, S_0

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

先抓重点

核心问题: 显微镜能分辨的最小细节由什么决定？
一句话直觉: 两个非相干点的 Rayleigh 参考距离为 $d_R=0.61\lambda/\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}$ 。明场能分辨的最细周期结构，还取决于照明孔径和相干性。那是 Abbe 估计，和这里的点源判据不是一回事。

m=-\frac{200\,\mathrm{mm}}{f_{\mathrm{obj}}},\qquad M_{\mathrm{visual}}=m\frac{250\,\mathrm{mm}}{25\,\mathrm{mm}}

tube lens 固定为 200 mm，松弛眼观察用的目镜为 25 mm。负号表示像是倒立的。NA 不变时，只改物镜焦距，样品上的分辨率不会变。

d_R=\frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}},\qquad p_{\mathrm{Abbe}}=\frac{\lambda}{\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}+\min(\mathrm{NA}_{\mathrm{ill}},\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}})}

Rayleigh 判据针对两个非相干点。Abbe 表达式给出在当前照明角度范围下，明场能传过去的最细周期。它不是完整的部分相干传递函数，也不预测对比度。

\mathbf P(f)\mathbf L(f)\mathbf P(2f)\mathbf L(f)\mathbf P(f)=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}

每段展开的 4f 中继，把同一场点以不同斜率发出的光线都送到同一个倒立像点。黄色光线把视场光阑成像到样品上，紫色光线把光源成像到孔径瞳上，两组共轭不能互换。

I(r,z)=\left|2\int_0^1\rho J_0(k\mathrm{NA}\,r\rho)\exp\!\left[\mathrm i kz\left(\sqrt{1-\mathrm{NA}^2\rho^2}-1\right)\right]\mathrm d\rho\right|^2

像卡把两个独立点的强度相加，样品上的视场固定为 4 微米。离焦为零时，结果就是圆瞳的 Airy 图样。均匀正弦瞳和标量近似都不包含偏振，也不包含高 NA 下的矢量效应。

容易误解提高倍率一定能把未分辨的两个样品点分开。

正确理解倍率只是把同一幅光学图像放大。改变焦距时，盯住固定视场的像卡看。要看清更多细节，得改孔径、波长或对焦，或者换一种成像方法；把显示放大没有用。

01
场景 1：几何放大
在几何放大场景中改变物镜焦距，比较样品位置、物镜瞳和中间像的带符号倍率。保持 NA 不变，确认像卡没有多出细节。
你会看到： 物镜焦距越短，像的倍率越大。NA、波长和离焦都不变时，固定物方视场的衍射像卡完全一样。
02
场景 2：Köhler 照明
打开 Köhler 照明，调节照明 NA，把紫色的光源／瞳中继和黄色的视场中继分开来看。这里读到的 Abbe 估计不是荧光 PSF。
你会看到： 缩小照明孔径，明场能传过的最细周期随之改变，单个非相干点的 PSF 却不变。
03
场景 3：衍射受限分辨率
在衍射受限分辨率场景中，把样品离焦调到零，再改变物镜 NA 和波长，两个固定点会合并或分开。拖动台面上标出的 NA 控制点，效果相同。
你会看到： NA 越大，合焦时横向分辨率越好，但同样的样品位移会带来更强的离焦。轴上强度反映了这种取舍。