磁通晶格 / 边界

磁性边界 · 找到边缘态

哪些态沿边缘移动，哪些态铺满整个样品？ 沿边缘走的是边缘分支上的态，这些分支横穿体能隙。它们贴着边界跑，速度由能量随动量变化的斜率决定。体能带里的态铺满整个样品；边缘分支一旦伸进体能带，也会散开。

在两侧开放的磁性条带里选一个态。移动边界，调节边缘势，每次重新制备一个态，测一次它的横向位置。看粒子落在边缘的比例，再和能谱、模型群速度对照。

约分后磁通 $\alpha=\frac13$

采集样本 $M=0$

横向开放 · 纵向周期

\alpha=\frac13

圆面积表示横向概率（逐态缩放），键颜色表示跃迁相位。纵向七排示意平面波，并非七颗测得的原子。

E/J_x=0

02 / 选择一个态

找一个待在边缘的态。

当前动量处的本征态

$k_y a/\pi$ · $E/J_x$

这是所选动量处直接由模型算出的概率。换一条能带会改变制备态；本征态的概率分布不随时间变化。

\text{—}

03 / 独立制备，逐次测量

有多少次会在边缘找到它？

每次重新制备所选本征态，再读出横向格点。边缘区域为左右各两列；计数估计位置概率，不估计速度或 Chern 数。

尚无记录。

M=0

\text{—}

估计只使用记录。均值误差为一个标准误差，边缘区间为逐点 95% Wilson 区间；均不包含网格误差或系统制备误差。

04 / 检查近似

网格离连续极限还有多远？

能带	采样最小值	采样最大值	Landau 参考

\text{—}

表格算的是洁净的周期体相，不含边缘势。用两档嵌套的动量网格检查采样到的带边；两者之差只用来诊断，不是严格的误差界。Landau 值只在正磁通较小、靠近带底时列出，参考值不拟合采集数据。

留下一组对照

试验	横向格点

展示最近十二次；CSV 包含全部记录及制备设置。最多保留六组样本，点击可恢复。

模型、约定与来源

方格晶格、每格一个轨道、无相互作用、相干。横向跃迁定能量单位，格距定长度单位。正磁通表示逆时针绕格的有向跃迁相位为正。周期晶胞大小由磁通约分后的分母决定；开放条带另设宽度。不包含无序、热库、材料校准、原子丢失或输运电极。

\begin{gathered}(E/J_x)u_m=-u_{m-1}-u_{m+1}\\-2(J_y/J_x)\cos(k_y a+2\pi\alpha m)u_m\end{gathered}

每个概率来自对应矩阵的本征矢。速度采用 Hellmann–Feynman 期望值；出现彩色边缘态不足以证明量子化 Hall 响应。

Hofstadter · 1976 Aidelsburger et al. · 2013 Tong · Quantum Hall Effect 打开配套实验

先抓重点

核心问题: 哪些态沿边缘移动，哪些态铺满整个样品？
一句话直觉: 边缘分支连接体相能带，但不是每个态、每个动量都集中在边缘。

核心数学模型

Harper 矩阵

(Hu)_m=-J_x(u_{m-1}+u_{m+1})-2J_y\cos(k_ya+2\pi\alpha m)u_m

沿纵向取平面波，方格晶格就化成一个只含横向坐标的矩阵。在条带里，跨过边界的键被去掉，所选的势加在最左边两格上。

磁性周期

\alpha=p/q,\qquad u_{m+q}=e^{i\theta_x}u_m

先约分，再确定晶胞。跨晶胞边界的跃迁要累加进去：两格晶胞的两条路径都要算，一格晶胞要加上自己连自己的键。

群速度

v_y=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E}{\partial k_y}=\frac{2aJ_y}{\hbar}\sum_m|u_m|^2\sin(k_ya+2\pi\alpha m)

这是按 Hellmann–Feynman 定理算出的模型期望值。格点计数不能独立测出这个速度。

常见难点

画的是哪个系统？

容易误解蝴蝶谱、条带和带噪声的数据，只是同一组数据的不同画法。

正确理解蝴蝶谱采样的是周期体相的矩阵，条带有真实的开放边界。带噪声的数据来自另行说明的理想制备和读出过程。

测量了什么？

容易误解有了彩色的边缘点或直方图，就能确定 Hall 整数。

正确理解这里给出的是模型能谱，以及能量或位置的采样。没有模拟输运或填满能带的泵浦，也不估计 Chern 数。

动手实验

01
先预测，再动手
在能谱里点一个彩色的边缘点，看这个态的权重落在条带哪里。用手柄或方向键移动边界。
你会看到： 所选的态可能和对面边缘混在一起，也可能主要分布在体内。
02
采集并保存
采集位置并保存，再选择体态重复测量。
你会看到： 柱状图和估计值只用原始测量算出，导出后可以自己重算。
03
检验计算
加密动量网格，比较低磁通的前三条子带与 Landau 参考。
你会看到： 动量采样的疏密、条带宽度有限、连续近似，这三者带来的误差各不相同。

磁性边界 · 找到边缘态

找一个待在边缘的态。

有多少次会在边缘找到它？

网格离连续极限还有多远？

留下一组对照