磁通晶格 / 边界

磁性边界 · 找到边缘态

在开放的磁性条带中选态，移动边界、调节边缘势，再逐次读取横向位置。用采集得到的边缘占据，与能谱和模型群速度进行对照。

约分后磁通 $\alpha=\frac13$

采集样本 $M=0$

横向开放 · 纵向周期

\alpha=\frac13

圆面积表示横向概率（逐态缩放），键颜色表示跃迁相位。纵向七排示意平面波，并非七颗测得的原子。

E/J_x=0

02 / 选择一个态

找一个待在边缘的态。

当前动量处的本征态

$k_y a/\pi$ · $E/J_x$

所选动量处的直接模型概率。换一条能带会改变制备态；本征态的概率分布不随时间变化。

\text{—}

03 / 独立制备并采集

有多少次会在边缘找到它？

每次重新制备所选本征态，再读出横向格点。边缘区域为左右各两列；计数估计位置概率，不估计速度或 Chern 数。

尚无记录。

M=0

\text{—}

估计只使用记录。均值误差为一个标准误差，边缘区间为逐点 95% Wilson 区间；均不包含网格误差或系统制备误差。

04 / 检查近似

网格还不是连续系统。

能带	采样最小值	采样最大值	Landau 参考

\text{—}

表格计算洁净周期体相，不含边缘势。两档嵌套动量网格核对采样带边；变化量是诊断，不是严格误差界。Landau 值仅在较小正磁通、带底附近列出，参考值不拟合采集记录。

留下一组对照

试验	横向格点

展示最近十二次；CSV 包含全部记录及制备设置。最多保留六组样本，点击可恢复。

模型、约定与来源

方格晶格、每格一个轨道、无相互作用、相干。横向跃迁定能量单位，格距定长度单位。正磁通表示逆时针绕格的有向跃迁相位为正。周期晶胞大小由磁通约分后的分母决定；开放条带另设宽度。不包含无序、热库、材料校准、原子丢失或输运电极。

\begin{gathered}(E/J_x)u_m=-u_{m-1}-u_{m+1}\\-2(J_y/J_x)\cos(k_y a+2\pi\alpha m)u_m\end{gathered}

每个概率来自对应矩阵的本征矢。速度采用 Hellmann–Feynman 期望值；出现彩色边缘态不足以证明量子化 Hall 响应。

Hofstadter · 1976 Aidelsburger et al. · 2013 Tong · Quantum Hall Effect 打开配套实验

先抓重点

核心问题: 哪些态沿边缘移动，哪些态铺满整个样品？
一句话直觉: 边缘分支连接体相能带，但不是每个态、每个动量都集中在边缘。

核心数学模型

Harper 矩阵

(Hu)_m=-J_x(u_{m-1}+u_{m+1})-2J_y\cos(k_ya+2\pi\alpha m)u_m

纵向平面波把方格晶格化成横向矩阵；条带省去越墙的键，并在左侧两格加入所选势。

磁性周期

\alpha=p/q,\qquad u_{m+q}=e^{i\theta_x}u_m

先约分，再确定晶胞。两格晶胞的两条连接和一格晶胞的自身连接都要累加。

群速度

v_y=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E}{\partial k_y}=\frac{2aJ_y}{\hbar}\sum_m|u_m|^2\sin(k_ya+2\pi\alpha m)

Hellmann–Feynman 模型期望；格点计数不独立测量该速度。

常见难点

是哪种系统？

容易误解蝴蝶谱、条带和带噪记录是同一数据的不同画法。

正确理解图谱采样周期体相矩阵，条带具有开放墙壁；记录使用另行声明的理想制备与读出协议。

测量了什么？

容易误解彩色边缘点或直方图认证 Hall 整数。

正确理解这里展示模型能谱及能量或位置采样，不实现输运、填满能带的泵浦或 Chern 数估计。

动手实验

01
先预测再改变
点选彩色能谱点并查看空间权重，用手柄或方向键移动边界。
应该观察到： 所选态可能与对侧边缘混合，或转为体相为主。
02
采集并保存
采集位置并保存，再选择体态重复测量。
应该观察到： 图柱与估计来自原始记录，可导出后重算。
03
检验计算
加密动量网格，比较低磁通的前三条子带与 Landau 参考。
应该观察到： 数值采样、有限条带宽度和连续近似误差是不同效应。