量子霍尔平台怎样成为电阻基准

电阻为什么会有一段不变？

让电流沿薄导电层流动，垂直磁场会让两侧出现横向的霍尔电压。通常把磁场调强，霍尔电压就会跟着变；改变电子数，曲线也会移动。整数量子霍尔效应却有一段很平的台阶：磁场或电子面密度继续改变，横向电压与电流之比几乎停在原处。同时，沿电流方向测到的电阻降到极小。理解实验要把两条曲线放在一起看，不能只挑一段漂亮平台。

1980 年，冯·克利青、多尔达和佩珀研究硅界面附近的二维电子。他们用晶体管栅压调节电子面密度，发现霍尔电阻靠近一组由基本常数和整数决定的数值。器件的形状和细节可以改变，平台高度却极为稳定。一块人工加工的硅片，为何能给出如此通用的电阻值？

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两组电极回答不同的问题

电子被限制在很薄的一层，低能运动主要留在平面内；磁场则垂直穿过平面。电流从霍尔条一端进入，从另一端流出。横跨条宽的两只小电极测霍尔电压，沿长边另一对电极测纵向电压。电压表尽量少取电流，让探针读电势，而不明显扰动原来的电流。

电极位置稍有偏差，横向读数便可能混入纵向压降。实验会倒转磁场或电流，也会换用不同探针对。温差带来的寄生电压、接触电阻和漏电都要检查。普通演示看见台阶已经很鲜明；若要把同一个器件拿去校准电阻，还必须知道这些误差有多大、怎样随工作条件改变。

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朗道能级给出尺度，还没有解释平台宽度

垂直磁场把电子轨道运动的能量分成一层层朗道能级。每一层都能容纳很多状态，单位面积的状态数随磁场增大。把每平方米的电子数，除以每平方米一层能容纳的状态数，便得到填充因子。每层容量等于基本电荷乘磁场，再除以普朗克常数；计数时使用基本电荷的正值。

若恰好填满整数层，费米能量可以落在能级之间，这是理解整数序列的起点。不过，理想的尖锐能级只能挑出某个磁场或密度，不能自动给出一整段平台。真实样品含有杂质和势能起伏，能级会展宽。新增电子放进哪些状态、为何没有改写输运，才是平台宽度的关键。硅还具有自旋与谷自由度，实际台阶次序不能全靠一幅无自旋示意图决定。

例如磁场取五特斯拉，一层分辨开的朗道能级，每平方微米约有一千二百一十个状态；理想地填满两层，便需要约两千四百二十个电子。这是按磁通数算出的容量，不是拟合某块硅片得到的常数。栅压扫描可经过这个密度，又在两侧继续改变电子数。若平台仍然保留，实验便直接提出了理想能级图没有回答的问题：多放进去的电子去了哪里？局域态正是连接这两个图景的重要部分。

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局域态让电子数改变，平台仍能留下

无序势会把一部分电子态限制在局部区域。栅压继续变化时，这些状态仍能接纳电子，却不能把电荷从样品一端送到另一端。展宽能级中央附近可以保留延展态，平台之间的转变与它们密切相关。同一个平台内，局域态接纳新增电子，填充因子可以在整数附近连续改变。

无序在这里有两面作用。适量无序提供局域态，让平台具有宽度；过强无序又会破坏可分辨的量子霍尔结构。局域化还有长度尺度，小样品里看似受困的状态，换到不同尺寸后仍需检验。温度降低会减少电子借热能进入导电态的机会。纵向电阻随降温进一步减小，比单张低温曲线更能支持这一解释。

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电导不能随手取电阻的倒数

电场能同时引起沿向与横向电流，电阻与电导要把两个方向一起转换。各向同性薄层中，霍尔电导率的大小，等于横向片电阻率的大小，除以纵向和横向片电阻率各自平方后的总和。片电阻率单位是欧姆，片电导率单位是西门子。正负号还取决于电荷、磁场和坐标方向。

纵向电阻率足够小时，霍尔电导率才近似等于霍尔电阻率的倒数。在理想整数极限，它是电导量子的整数倍。两端测量还会包含接触和引线影响，纵向电阻则另与霍尔条长宽比有关。读一条曲线之前，先确认电极几何以及同时测到的纵向信号。霍尔电阻降到克利青电阻的一半时，电导便是两倍电导量子。

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一段平台怎样变成校准工具

1985 年，凯奇、朱巴和菲尔德用两只砷化镓霍尔器件跟踪一只室温参考电阻，比较持续十二个月，并更换电压探针对、倒转磁场方向。他们公布的高分辨平台，在一段磁场内平坦到约亿分之一。即使达到这个水平，测量仍要修正仪器零点和温度影响。

两只器件长期一致，首先说明复现性；要把数值接到已有单位，还要交代比较电路与不确定度。倒转电流能压低热电压和缓慢漂移带来的影响。电流太大或温度升高，纵向耗散可能重新出现，平台也会偏移。量子效应给出了稳定目标，精密实验则告诉人们在什么条件下、带多大误差能够达到它。

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基本常数精确，实际测量仍有误差

公式中霍尔电阻用欧姆，普朗克常数与基本电荷的正值规定尺度，正整数标记平台。克利青电阻约为 25812.807 欧姆，第二个平台约为 12906.404 欧姆。通入一微安电流，横向电压便约为 12.906 毫伏。这个电压在普通电子测量中已有熟悉的大小。整数描述整层电子的横向响应，不是在数有多少单独电子钻进电压探针。

2019 年国际单位制修订后，普朗克常数与基本电荷采用固定的精确值，它们的比值给出精确的克利青常数。用器件给出这个值仍有不确定度：接触、漏电、温度和比较仪器都需要测量。定义精确与操作精确是两回事。改良材料和装置能放宽工作条件、减小误差，让同一个量子值更容易重复测得。

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平坦区间为什么重要

平台的意义，比曲线碰巧经过一个数值更深。电子继续进入薄层，接纳它们的状态仍可以局域，整数横向响应便保留下来。降温、改变电流、比较电极，检验器件能否持续停在这种状态。一个微观量子态由此连到可重复测得的宏观电压，成为现代电学计量的基础。

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