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凝聚态物理 · 阅读路径
明明越得过障碍，云团为何不再扩散？
一束波即使有足够能量越过每个单独障碍，也可能无法在无序介质里持续扩散。这就是 Anderson 局域化最反直觉的地方。波沿许多路径散射，再在同一处相遇，波峰与波谷会相互加强或抵消；这种干涉能改变粒子向远方传播的机会。
Anderson 在 1958 年让晶格上各个位置的能量随机变化，追问最初局限在一处的扰动，能否靠量子运动传到远方。在一定条件下，扩散会消失。原问题涉及杂质带导电和自旋输运，背后的波动机制却更普遍。后来的冷原子实验把这个问题变得直观：一团物质波先膨胀，随后在弱无序势中形成不再变化的指数尾部。但云团停止变宽，还只是需要解释的现象；要认出干涉机制，必须继续排查它为何停下。
随机格点能量和隧穿在竞争
一个常用模型在每个格点放一个轨道，允许波隧穿到相邻位置，也就是穿过经典粒子越不过的势垒，又给各处不同的随机能量。若格点能量全都相同，波可以跨越晶格延展；有了随机偏移，不同路径积累的相位、相邻位置是否接近共振，都会改变。重要的是无序相对于隧穿有多强，而不是样品有没有一个缺陷。
格点能量偏移和跳跃强弱，都可以用能量比较：地形起伏相对跳跃越大，相邻位置越难相互接通。这个模型没有粒子间排斥，靠无序与量子波干涉就能阻碍运动。一个孤立深井也能困住粒子，那属于简单束缚。寻找安德森局域化时，实验关注的是一整段弱无序区域，以及波沿许多散射路径叠加后的行为。
来源：[1]
把随机游走走慢一点，还不够
经典随机游走里，每次碰撞独立改变运动方向，走得慢些，云团通常仍会继续变宽。量子振幅是一种平方后给出概率的波量，相位记录波走到一个周期的哪一步。抵达同一终点的不同路径，得先把振幅相加，再求概率，不能始终把每次散射当作独立概率相乘。
多次散射会改变返回原处的机会，也能压低向远方输运。这个比较需要不同路径的相位关系保持稳定，这就叫相干；非弹性碰撞、环境波动或相互作用，都可能改变它。电子实验里，温度与观察时间因此非常重要。仅凭一个无序样品在室温下电阻较大，不能确认强局域化。普通散射也会让扩散很慢，实验要进一步检查，在可观测的长度和时间范围内，波是否真的保持空间局限。
半对数图能把局域长度显出来
局域态远离中心后，包络通常近似指数衰减。局域长度说明振幅能延伸多远。密度是振幅模的平方，若振幅采用某个衰减长度，密度指数里就会多出一倍因子。比较不同论文的“局域长度”时，要先确认作者说的是振幅还是密度。
把密度取对数，再对距离作图，指数尾巴会近似成为直线。公式中的密度随离中心的距离改变，希腊字母 xi 表示振幅局域长度；两个距离用同样长度单位。它往往比中央峰更有辨识力：中心还可能混着相互作用、制备误差和不同能量组分。作一个示意算例，若振幅局域长度为十微米，在距离中心二十微米处，密度按这个包络会降低约五十五倍。这样的量化后果，比在线性色彩图上看见一个不大的亮斑更明确。相机的噪声底决定了尾巴最远能读到哪里，拟合应使用仍能分辨出密度的区域。
来源：[3]
冷原子把弱无序和经典困住分开了
Billy 等人在 2008 年把原子放进光学波导，并叠加激光散斑产生的无序势。撤掉纵向束缚后，云团沿波导膨胀。弱光势主要提供保守势能，耗散性光子散射很小；尾部密度降低以后，相互作用也足够弱，可以和单粒子局域化理论比较。
证据来自几个相互关联的变化：膨胀趋于停止，尾部近似指数衰减，拟合局域长度随无序强度改变，并在标定不确定度内接近相应理论。实验还选取尾部原子动能高于无序幅度的条件，让“被某个经典高势垒挡住”难以解释结果。散斑的空间关联同样经过检查：它的空间频率范围有限，会影响哪些原子能够局域。另一种原子能量或另一种无序图样，会改变散射路径，局域长度也要随之重新计算。
来源：[3]
准周期晶格提供了另一种可控检验
同一年，Roati 等人走了另一条路线：用不可公度的光学周期形成一维准周期晶格，还能把原子相互作用调到接近零。格点调制不是彼此独立的随机数。改变调制相对于隧穿的强度，系统会从延展行为转向局域行为。
他们同时检查输运、空间分布和动量分布。三者各有限制力：停止运动、密度变得局限、动量结构改变，并不是同一项观察重复三遍。准周期模型可以存在有限的转变强度，而通常的一维无关联随机链并不具有同样门槛。两项实验都研究局域化，不等于它们使用同一个哈密顿量。真正有价值的是，各自把势能和相互作用控制得足够清楚，能够检验对应理论。
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维度和样品尺寸会改变结论
1979 年的尺度理论追问：保持相干时，把无序样品做得更大，电导怎样变化？在它讨论的标准非相互作用对称性条件下，二维体系没有通常金属式的大尺寸极限，三维则可以有延展与局域之间的转变。磁场、自旋轨道耦合、相互作用以及无序关联，都需要另行处理。
有限装置还会造成一种假象：若局域长度远大于装置，观测起来就像能够延展。反过来，短时间内扩散很慢，也不等于已经局域。改变观察时间与尺寸，可以逐步区分。数值计算同样要把透射、空间形状和不同无序样本放在一起看。比较多个尺寸，才能看出一团集中的波，在更长路径出现以后是否仍停留原处。
平滑的弱无序先把波聚成分支
无序并不总是把波困住。如果地形起伏平缓，宽度又远大于波长，波穿过时会继续前进，但不会散成均匀一片。它聚成一条条细而亮的通道，一路像树枝那样反复分叉。这叫分支流。扫描探针曾在半导体器件的电子流里拍到它；2020 年，Patsyk 等人把绿色激光引进一张肥皂膜，膜厚处处自然起伏，第一次在光学里看到了它。
每个宽缓的起伏都像一枚很弱的透镜。波上相邻的部分穿过的透镜几乎相同，各自的小偏折不断累积，直到路径交叉，光沿着几条线堆积起来，这些线叫焦散。Kaplan 在 2002 年证明，分支正是从焦散长出来的。公式连起三个量：出现第一批分支前走过的距离、起伏的典型宽度，以及起伏相对于波能量的强度，后者带着负三分之二次方。起伏宽度减半，距离也减半；起伏弱三倍，距离只远两倍左右。
分支流不是局域化。光一直往前走，每条分支往前还会再分叉，没有什么阻止波扩散。改变的是亮度怎样分配：在肥皂膜里，特别亮的点比无关联无序留下的散斑多得多，强度统计拖着一条重尾。局域化追问干涉能否让输运停下；分支流则说明，平滑的弱无序会重新安排一束仍在前进的波。
把无序与排斥留作两个清楚的问题
Anderson 局域化说明，无序可以主动组织波的运动，而不只是把平均自由程略微缩短。路径干涉足以改变输运性质。后来的原子实验又让研究者直接看见空间包络，并控制几项重要的替代解释。
冷原子把这个区别留成了一幅可看的图像：粒子有足够能量越过单个障碍，整团波却因众多路径干涉留在原处。尾部何时停止、密度怎样随距离减小，让量子干涉造成的束缚可以在空间中测量。粒子排斥又提出另一种困难：即使地形周期整齐，彼此也能阻碍运动。两条机制分开以后，外观看来同样不导电的材料，就有了可以进一步区分的内部原因。