跳到主要内容
Sandbox Physics

Q059 · 释放 / 探测 / 对照

Anderson 无序局域化

向无序晶格释放一个原子。对照扩展，换一片地形，用逐次探测累积位置分布。

交互模型Anderson 无序局域化
演化时间 · 模型00
宽度 · 模型00

02 / 一次探测，只有一个位置

逐次探测，累积出分布。

平均位置 · 记录

—\text{—}

宽度 · 记录

—\text{—}

有效 / 尝试 · 当前时刻

—\text{—}

蓝柱：记录频率；橙线：模型概率；细线：逐点 95% Wilson 区间。位置以晶格间距为单位，均值误差为一个经验标准误。当前时刻没有记录，就不显示估计。

03 / 查看整段演化

波究竟散开多远？

模型概率 · 点击或拖动选择时刻

时间向下增加。颜色采用从十万分之一到一的固定对数概率尺度，暗格不代表概率严格为零。

宽度随时间 · 模型线与记录点

—\text{—}

模型参与数表示有效占据站点数，并非拟合的局域长度。

04 / 原子经历的势能

看看无序长什么样。

Vn/E∗V_n/E_*

向上拖动增强无序。蓝色站点能量较低。平滑保持系综方差不变，不固定每个样本的能量范围。

准动量 · 仅模型 ka/πka/\pi

第一 Brillouin 区内的 81 点 Fourier 诊断，与站点采集记录分开。这里没有模拟飞行时间成像。

—\text{—}

05 / 保存对照

同一个问题，换一组条件。

最多保存八组固定样本；保存后再次采集会开启新样本。

科学模型与边界

一个粒子，81 个站点从 −40 到 40，开边界、近邻隧穿。所有能量共用固定参考能量，时间采用对应的约化 Planck 时间。完整对角化有限 Hamiltonian 并进行幺正演化，不靠事后归一化掩盖误差。

H=−J∑n(∣n⟩⟨n+1∣+h.c.)+∑n(ϵn−Fan)∣n⟩⟨n∣H=-J\sum_n(|n\rangle\langle n+1|+\mathrm{h.c.})+\sum_n(\epsilon_n-Fan)|n\rangle\langle n|

初态是具有相位梯度的归一化离散 Gaussian 波包；宽度为零时制备单站态。无序从独立均匀噪声生成，可与按权重平方和归一的 Gaussian 核卷积。它不是光学散斑或准周期势。

始终只有单能带，不计算能带激发或 Landau–Zener 泄漏。Bloch 周期和干净晶格参考只适用于无序为零、边界尚未影响运动时。有限时间平台不能确证无限系统 Anderson 局域化或多体局域化。

每次试验重新制备，演化至所选时刻，再测一次位置。与状态无关的漏检保留在 CSV 中，不包含隐藏站点。显微镜是放大站距的几何示意，不模拟荧光、分辨率或光学标定。

Billy et al. · 2008 · Korsch & Mossmann · 2003 · Ben Dahan et al. · 1996

—\text{—}

物理教程

无序与扩展

背景有限相干链把明确的 Hamiltonian 与逐次站点测量连接起来。

为什么值得理解静止的一张图无法区分受限、复现和边界反射。

先抓重点

核心问题
什么阻碍了扩展？
一句话直觉
比较完整时间记录和不同无序样本。

核心数学模型

有限晶格

H=−J∑n(∣n⟩⟨n+1∣+h.c.)+∑n(ϵn−Fan)∣n⟩⟨n∣H=-J\sum_n(|n\rangle\langle n+1|+\mathrm{h.c.})+\sum_n(\epsilon_n-Fan)|n\rangle\langle n|

站点从左向右；正力使能量向右降低。改变隧穿时，参考能量保持不变。

初态制备

ψn(0)∝exp⁡[−(na)2/(4σ02)+ik0an]\psi_n(0)\propto\exp[-(na)^2/(4\sigma_0^2)+ik_0an]

在有限链上归一化离散 Gaussian。宽度为零时改为中央单站态，每次测量都重新制备。

位置统计

xˉ=a∑nnpn,σx2=a2∑n(n−xˉ/a)2pn\bar x=a\sum_n n p_n,\quad \sigma_x^2=a^2\sum_n(n-\bar x/a)^2p_n

模型概率与经验频率分开。测量均值只用成功探测的位置；至少两次有效读数才给出经验标准误。

扩展基准

σx2(t)=2a2(Jt/ℏ)2\sigma_x^2(t)=2a^2(Jt/\hbar)^2

无限干净链中，中央单站初态弹道扩展。有限开链在边界起作用之前应与之相符。

参与数

Peff=(∑npn2)−1P_{\rm eff}=(\sum_n p_n^2)^{-1}

表示模型波函数有效占据的站点数，不是拟合的指数长度，也不是无限系统分类。

相关无序

ϵn=W∑jwjun+j∑jwj2,uj∼U[−1/2,1/2]\epsilon_n=W\frac{\sum_j w_j u_{n+j}}{\sqrt{\sum_j w_j^2}},\quad u_j\sim\mathcal U[-1/2,1/2]

Gaussian 权重定义平滑控制；系综方差保持不变，不重新缩放单个样本。该噪声不是散斑。

常见难点

有限观察

容易误解窄波包证明了无限系统的相。

正确理解有限时间、有限长度及样本依赖始终存在；不推断局域长度、迁移率边或多体相。

单能带

容易误解这里的大力结果适用于任意强度的真实光晶格。

正确理解模型没有第二能带。真实仪器可能泄漏至高能带；未指定能隙时，不声明定量施力适用范围。

动手实验

  1. 01

    预测

    先对照前两组预设，再查看数据。

    应该观察到： 每组预设包含 200 次明确标注的模拟探测。
  2. 02

    查看时间

    拖动时间或概率图，采集 17 个时刻。

    应该观察到： 播放保留数据且不增加试次；扫描在每个时刻使用独立制备的原子。
  3. 03

    检验解释

    保存后改变无序样本或初始宽度，再次扫描并导出原始记录。

    应该观察到： 保存样本保留原设置；漏检记录不导出隐藏站点。