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当前页面波函数的几何怎样决定整数霍尔响应
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为什么测出来的响应会是整数？
1980 年整数量子霍尔效应问世后，一个难题摆在理论面前：半导体里有杂质、边缘和复杂势场，横向电导却能接近一个由基本常数乘整数得到的值。理想圆轨道能解释磁场下的能级，却还没有解释为何微小改动不能把这个整数慢慢推成小数。
1982 年，索利斯、河本、南丁格尔和登奈斯研究二维周期势与磁场中的电子。他们计算弱电场引起的微小电流，发现已占据态与空态之间有能隙时，横向响应里的整数会显出来。这篇常简称 TKNN 的论文有四位作者。整数属于占据波函数在整个动量空间的组织方式，单条能带的形状即使相当复杂，也可以由同一个整数描述横向响应。
只画能量曲线，还少了一半信息
布洛赫态是电子在周期材料中的量子运动图样。晶体动量给重复的波编号；波函数记录一个重复单元内的振幅与相位。振幅平方给出概率，相位说明波走到一周的哪一步。两种材料的能量曲线看起来很像，波函数仍可能不同；电场引起的电流，恰好会读到这些差异。
TKNN 从久保公式计算弱电场诱导的横向电流。零温时若一组彼此隔离的能带被完全占据，普通能带速度沿整个动量空间相加会抵消，几何贡献却可以留下。这里既需要能隙，也需要完全填充的能带。若只填一部分，响应通常会依赖具体填了哪些状态，并可连续改变。
来源：[2]
沿闭合路径比较相位，几何才显出来
单个动量点上，波函数整体相位可以任意选，不能把写下的某个相位直接当成可观测量。但把相邻状态沿闭合路径比较，便可以得到几何相位。一个隔离本征态缓慢经过参数周期后，除时间与能量带来的动力学相位，还可能获得这种额外相位。贝里在 1984 年系统说明了这一现象。
贝里曲率可以理解为参数空间一小块面积所对应的几何相位密度。二维能带的两个参数是动量的两个分量。动量空间中，一个完整重复区域叫布里渊区，它的相对边代表等价动量，把这些边相接，数学上得到环面；真实样品不必做成甜甜圈。不同区域可以使用不同相位约定，重叠处也要正确拼接。正确拼接后，可测曲率与整区响应保持一致。
陈数把整区曲率加成一个整数
把完整重复动量区域内的曲率相加，再除以一整圈，便得到无单位的整数，叫陈数。每条隔离的占据能带贡献一个整数，总和决定公式中的霍尔电导。电导用西门子，陈数没有单位，另外两个常数是基本电荷的正值与普朗克常数。符号取决于坐标取向。若两个动量坐标取每米计的波矢，曲率本身便具有平方米单位。
非零整数意味着，无法在整个周期区域选出一套处处光滑的相位。保持能隙时平滑修改哈密顿量，局部曲率可以挪动、增减，整区积分却仍停在原来的整数。能带接触为改变陈数提供机会，但接触本身不保证一定发生改变。总陈数取一时，片霍尔电导大小约为三十八点七四微西门子。波函数的整体性质由此决定可测电流，让许多微观改动仍对应同一个响应。
穿入磁通能把整数变成转移电荷
劳克林在 1981 年采用另一种思想实验：把霍尔体系卷成圆筒，缓慢改变筒孔中的磁通。法拉第定律给出环绕圆周的电场，霍尔响应便把电荷沿筒面从一侧边缘送向另一侧。改变一个磁通量子以后，哈密顿量回到规范等价的描述，边缘之间却已经转移了电荷。
把霍尔电导乘这个磁通增量，理想整数态会得到整数个基本电荷。一个磁通量子等于普朗克常数除以基本电荷；它乘霍尔电导给出转移电荷。方向由磁场与磁通变化方向决定。这个图像把规范不变性与迁移率隙联系起来：相关能量处，内部没有可供普通耗散输运的延展态。圆筒图像与体能带计算互相补充，把完整磁通循环与转移电荷的联系显出来。
来源：[5]
一维体系绕一个周期，也能泵出整数
索利斯在 1983 年发现，缓慢、周期改变一维周期势，也能得到量子化输运。一个周期参数是晶体动量，另一个是驱动走到哪一步；它们共同组成二维参数空间，也能定义陈数。理想绝热极限下，一条隔离且完全占据能带，每周期输运的粒子数由这个整数决定。
相应的瓦尼尔中心，也就是局域化能带态所对应的位置，每周期移动整数个晶胞。移动所比较的长度是晶胞周期；若超晶格有双阱，它不一定等于每两个相邻阱的间距。举例取五百纳米周期、陈数一，十个周期后中心便移动五微米。周期走到一半时，位移可以不是整数；量子化指完整循环。带间跃迁、占据不合适或有限尺寸效应，都会影响理想结果。
光晶格把循环与对照实验做出来
发表于《自然·物理》2016 年卷的冷原子实验，用光学超晶格检验了索利斯泵。中岛等人把超冷镱费米原子放进两套驻波叠加的势场，改变相对相位与深度，便能依次调整井底与势垒。他们用吸收成像读云团中心随周期数的移动，比较参数路径是否围住能隙消失点，还检查驱动速度与温度的影响。
洛泽等人独立用玻色原子超晶格观测量子化位移，并发现制备到激发带可以让移动方向相对最低带反转。这类对照把能带几何与“势阱拖着粒子走”区分开来。原子是中性的，直接记录的是密度和位移，没有电学霍尔电压。同一个数学结构，就这样在另一种装置中化成了云团的可测运动。
光在芯片上也能带着这种整数
陈数并不要求粒子带电。2008 年，霍尔丹（Haldane）和拉古（Raghu）指出，光在周期结构里同样有能带；如果用磁化的材料，让光往前走和往回走不再对称，这些能带也能带上陈数。他们预言：频率落在两条能带之间的空隙里时，光会沿结构的边缘只朝一个方向走。2009 年，Zheng Wang 等人用磁化的铁氧体棒搭出这样的晶体，让微波沿边缘传播。他们在路上放了一块金属障碍，微波没有被弹回去：这个频率上没有往回走的边缘态，它只能绕过障碍继续向前。
到了光纤通信用的近红外波段，材料的磁效应比微波段弱至少两个数量级，Hafezi 等人于是改用几何结构。他们在硅芯片上排出 10 乘 10 的环形波导，每个环几十微米大小，环与环之间靠小的连接环相连。把每个连接环稍微挪开一点，光绕任意四个环围成的小方格走一圈，都会多出同样的相位，这正是磁场对电子起的作用。环里的光可以顺时针转，也可以逆时针转，两者感受到的磁场方向相反，所以芯片上有两条单向边缘，走向相反。只要很少有光在环里掉头，两者就互不干扰。
2013 年，他们用红外相机拍下每个环散射出的微光。频率落在边缘能带里时，光从一个角进入，沿边缘走，宽约一两个环。在一块故意少了一个边缘环的芯片上，光紧贴着空缺绕过去，到达输出端，没有散进中间。
稳定性要连同物理条件一起说
无序会破坏简单晶体动量编号，需要超出完美周期能带的表述。牛谦、索利斯和吴咏时在 1985 年用多体边界条件发展了可处理相互作用与无序的表述，能隙或迁移率隙仍然关键。分数霍尔液体需要多体处理，整体响应属于相互关联的电子，也包含由它们形成的分数带电激发。
贯穿这些问题的是对整区或完整循环的响应。势场改变时，局部曲率可以挪动；泵的一个周期内，云团也可以沿不同轨迹移动。只要相关能隙与占据条件保留，完成后的响应仍能保持整数。温度升高或驱动过快会激发其他状态，实验控制正是让这种稳定性被清楚看见的条件。