Q062 · 体相与边界

Chern 绝缘体 · 沿着边界走

Chern 绝缘体的边缘亮起来时，波真的会沿着边走吗？ 通常会，但不是永远。体能带有能隙时，它的 Chern 数决定单向边缘通道净有几条、朝哪个方向。打进边缘态的波包单向前进，遇到缺陷也会绕过去。可真实波包大小有限，混在里面的体态成分仍可能从边缘漏走。

在条带能谱里挑一个态，把它作为波包送进有限大小的方格晶格，再把缺陷拖到它的路上。看波包实际出现在哪里，再和干净体相的能隙、Berry 通量对照。

洁净体相 Chern 数 $\text{—}$

采样直接能隙 $\text{—}$

模型：上下各两行占据 $\text{—}$

记录估计位移 $\text{—}$

这是双轨道 QWZ 教学模型。体相不变量和条带能谱都按干净晶格计算，带缺陷的有限样品另算。测到的位置给不出 Chern 数，也给不出电导。

边界开放的有限样品

t=0

圆面积：模型原胞概率圆环：缺陷手柄

观测时刻

tJ/\hbar

尚无采集记录。

02 / 采集位置数据

位置分布移动了吗？

初态记录末态记录虚线：直接模型

M=0

\text{—}

每次试验独立制备两次，分别记录初始位置和演化后位置。这不是粒子轨迹。位移及其标准误差只由记录对计算。

03 / 无缺陷的周期体相

把 Berry 通量加起来。

\text{—}

倒空间坐标沿标出的两条原胞基矢。方形图是参数环面，不是实空间探测器，也不是蜂窝 Brillouin 区的笛卡尔轮廓。

04 / 无缺陷的条带

在能隙里选一个态。

$k_1/\pi$ · $E/J$

下边界上边界灰：体相为主

所选本征态

\text{—}

条带沿第一基矢方向周期延伸，沿第二基矢方向开放。颜色表示两侧最外两行的占据。高斯包络把这个洁净本征矢局域化，得到的有限波包有一定的动量和能量展宽。

保存一组对照

试验	初始原胞	最终原胞

显示最近十二次，CSV 保留全部记录和设置；最多保存六组，可点选恢复。

算了什么，没算什么

单粒子、静态 Hamiltonian，每胞两个轨道，有限边界开放。缺陷等同作用于选定原胞的两个轨道。洁净体相和条带参考不含缺陷及无序。直接能隙不一定等于间接绝缘能隙；不模拟引线、散射电导、填满的 Fermi 海、相互作用、损耗或实验探测器响应。

Chern 数由两种网格上的规范不变小格重叠算出。在已知能隙闭合处，或网格分辨不出结果时，不显示整数。比较两种网格只是数值诊断，不是严格的收敛界。

\text{—}

Asbóth et al. · Chapters 2 & 6 Fukui, Hatsugai & Suzuki · 2005 Haldane · 1988

先抓重点

核心问题: Chern 绝缘体的边缘亮起来时，波真的会沿着边走吗？
一句话直觉: 体相有能隙，就限定了边缘态整体朝哪个方向绕行；但随便一个有限波包，并不会因此永远待在边上。

核心数学模型

体相 Hamiltonian

H(\mathbf k)/J=\sin k_1\sigma_x+\sin k_2\sigma_y+(m/J+\cos k_1+\cos k_2)\sigma_z

动量坐标是无量纲的，每个坐标沿一条标出的原胞基矢走完一个周期。能量以最近邻耦合为单位。实空间晶格的矩阵也按同一套跃迁约定搭建。

Chern 数：Berry 通量之和

C=\frac{1}{2\pi}\sum_{\square}\arg(U_1U_2U_1^{-1}U_2^{-1})

每条连接是相邻网格点上低能带旋量的归一化重叠，绕每个有向小格一圈把它们相乘。用两种网格密度各算一次，比较两次结果。在已知能隙闭合的地方，两条能带连在一起，这个不变量没有定义。

由采样位置估计平均位移

\widehat{\Delta n_1}=\frac1M\sum_{r=1}^{M}(n_{1,r}^{\mathrm{final}}-n_{1,r}^{\mathrm{initial}})

起点和终点位置分别取自独立制备的波包，误差取差值均值的一个标准误差。它估计的是波包走了多远，不是 Chern 数。

常见难点

三个不同系统

容易误解体相算出的数值已经把我放的缺陷算进去了。

正确理解算体相数值的环面和算能谱的条带都是干净晶格。只有有限样品里有局域缺陷势和固定的无序。

实空间里的方向

容易误解Chern 数是正是负，就能决定波往左还是往右。

正确理解要得出方向，还得知道边界朝哪边，倒空间坐标也要按同一套约定。相对的两条边上，波朝相反方向走。

有限样品

容易误解上下边缘的概率只要下降，拓扑的说法就站不住。

正确理解拐角、对侧边界、波包的能量宽度和普通体态成分，都会改变这个概率。这里只统计上下两排，不算左右两端的竖直侧壁。

动手实验

01
预测方向
选边缘通道预设，先看条带图里标了颜色的态，猜它往哪边走，再播放波包。
你会看到： 波包按有限晶格的 Hamiltonian 演化，路线是算出来的，没有事先规定。
02
比较两个方向
采集位置并保存。反转手性，在同一时刻再采一次，比较两次的位移。
你会看到： 直方图柱和估计值来自采样得到的位置，虚线是模型直接给出的概率。
03
尝试破坏通道
打开缺陷，把它拖到波包的路上。也可以换成普通能隙预设，选一个体态，或者把条带变窄。
你会看到： 看边缘权重、能量、有限尺寸混合和侧壁提示。只看到边缘发亮，还不能说明波沿着边走。

Chern 绝缘体 · 沿着边界走

位置分布移动了吗？

把 Berry 通量加起来。

在能隙里选一个态。

保存一组对照