光学 099 · 环形谐振腔晶格

拓扑光子边缘态

拓扑环形晶格上的光，为什么能绕过缺陷，而不被弹回去？ 这个频率上，晶格只有沿边缘的模式，同一条边上的模式都朝一个方向走。光碰到失谐或缺掉的环，既不能掉头，也进不了有带隙的内部，只能绕过去。普通环链里，同样的缺陷会把大部分光弹回去。前提是每个环里顺时针和逆时针的光互不耦合。

把脉冲送进带合成磁通的环形谐振腔晶格，再送进一条普通环链：边缘光绕过缺陷，环链却把光弹了回去。

环形晶格：到达输出的脉冲能量 $\text{—}$

环形晶格：送回输入波导的能量 $\text{—}$

普通环链：到达输出的脉冲能量 $\text{—}$

普通环链：送回输入波导的能量 $\text{—}$

晶格中间区域（离每条边至少两个环）的光 $\text{—}$

晶格输出比输入峰晚的时间 $\text{—}$

边缘光离开输入后的走向 $\text{—}$

环形晶格：在环中损耗的能量 $\text{—}$

普通环链：在环中损耗的能量 $\text{—}$

环形晶格，离散为一个耦合速率的 24 块随机芯片：连续光到达比例 $\text{—}$

普通环链，同样 24 块随机芯片：连续光到达比例 $\text{—}$

记录的回放帧数 $\text{—}$

光学 099

拓扑环形晶格上的光，为什么能绕过缺陷，而不被弹回去？

拿掉缺陷环把晶格和环链里的这个环连同它的耦合一起拿掉。驱动频率

\omega

-1.8\,J

每个方格的合成磁通

\alpha

\alpha=0.25

缺陷环的失谐

U

5\,J

环共振频率的随机离散

\sigma

0\,J

缺陷在边上的位置

\text{输入后第 3 个环}

每个环的损耗速率

\kappa_{\mathrm{in}}

0.02\,J

随机种子

1

每次改动都把新的脉冲送进两块芯片，回放显示每个环里储存的光随时间的变化。

采用 Hafezi、Demler、Lukin 和 Taylor（2011）提出的环形谐振腔晶格的耦合模模型：10 乘 10 的正方晶格，每个环只有一个环行模式，与上下左右四个邻居以同样的强度耦合，这个强度就是耦合速率。沿行跳一个环，相位会增加一个量，这个量每隔一行就多出同样的一步，所以每四个环围成的小方格都包住同样的合成磁通，磁通以相位转一整圈的分数表示。频率从环的共振频率算起，频率和速率都以耦合速率为单位，时间以它的倒数为单位。每个环的损耗速率是耦合速率的 0.02 倍，与 Hafezi 等（2011）所取的值相同；按 2013 年芯片的实测速率算，约为 0.06。输入、输出波导以六倍耦合速率接到离观众最近那条边上的第二个和第九个环。普通环链有 20 个排成一行的环，两端的环以两倍耦合速率接波导，并且总在它的能带中心驱动。缺陷环的共振频率移动设定的量，或者连同全部耦合一起拿掉。无序让每个环的共振频率各自移动一个独立的 Gaussian 随机量。输入是 Gaussian 脉冲，降到峰值 1/e 处的半宽为 4 个时间单位，用四阶 Runge–Kutta 以 0.05 的步长积分 90 个时间单位。到达比例和送回比例，分别是从输出波导和从输入波导直通端离开的能量除以脉冲能量。稳态透射谱和每档无序的 24 块随机芯片，用连续光的精确解计算。能带取自 24 个环高、无限长的长条。模型不含：每个环里顺时针和逆时针两路光之间的耦合（有了它光就能掉头）、耦合强度的制造误差、非线性和噪声。场景里环的大小和间距是示意。

物理教程

让光绕过缺陷

背景普通的耦合环链里，光一个环接一个环地跳过去。只要有一个环失谐，它就像一堵墙：大部分光掉头，从输入波导离开。

为什么值得理解Hafezi 等人提出，让相邻环之间的连接带上相位，使光绕任何四个环围成的小方格一圈，都多出同样的相位，就像电子在磁场里那样。这样的晶格只沿边缘、朝一个方向导光。同一个脉冲分别送进这种晶格和一条普通环链，两边放同样的缺陷。

先抓重点

核心问题: 晶格边上的光为什么能绕过缺陷，而环链却把光送了回去？
一句话直觉: 合成磁通取 $\alpha=1/4$ 时，晶格在 $|\omega|\approx1.06\,J$ 到 $2.62\,J$ 之间有带隙。带隙里只有边缘态，同一条边上的边缘态都朝同一个方向走。光碰到缺陷，无法掉头：这条边上没有反向的态；也进不了体内。它只能绕过缺陷继续往前。

核心数学模型

带合成磁通的耦合环

\begin{gathered}H=-J\sum_{x,y}\big(e^{-2\pi i\alpha y}\,a^{\dagger}_{x+1,y}a_{x,y}\\+\,a^{\dagger}_{x,y+1}a_{x,y}+\mathrm{h.c.}\big)\end{gathered}

$a_{x,y}$ 是第 $x$ 列、第 $y$ 行那个环里的光振幅， $J$ 是耦合速率。绕四个环围成的小方格走一圈，相位多出 $2\pi\alpha$ （Hafezi 等 2011，式 1）。

长条晶格的能带

\begin{gathered}\omega\,\phi_y=-2J\cos(k+2\pi\alpha y)\,\phi_y\\-J(\phi_{y+1}+\phi_{y-1})\end{gathered}

在 $x$ 方向无限长的长条上，波 $e^{ikx}\phi_y$ 满足这个方程。只待在一条边上的态穿过带隙；它们的斜率 $v=d\omega/dk$ 决定光往哪边走。

到达输出的光

\begin{gathered}T(\omega)=\nu^2\left|\langle\mathrm{out}|G(\omega)|\mathrm{in}\rangle\right|^2\\G=\left(\omega-H+i\kappa_{\mathrm{in}}+i\tfrac{\nu}{2}P\right)^{-1}\end{gathered}

波导以速率 $\nu$ 耦合到输入环和输出环， $P$ 只作用在这两个环上， $\kappa_{\mathrm{in}}$ 是每个环的损耗（Hafezi 等 2011，式 6）。

脉冲能量去了哪里

1=\frac{E_{\mathrm{out}}+E_{\mathrm{back}}+2\kappa_{\mathrm{in}}\int\sum_j|a_j|^2\,dt}{E_{\mathrm{pulse}}}

脉冲的能量要么到达输出，要么从输入波导回去，要么被环吸收。能量图里每根条的三段加起来正好是一。

普通环链里的缺陷

T_{\mathrm{chain}}=\frac{4J^2\sin^2k}{4J^2\sin^2k+U^2}

环链里一个失谐 $U$ 的环，在波数 $k$ 处只放过这么多光。在能带中心 $k=\pi/2$ ， $U=5J$ 的缺陷只放过 14%，其余都被反射。

常见难点

边缘不是一条波导

容易误解光留在边上，是因为边上的环另外组成了一条波导。

正确理解所有环都一样。边缘态之所以存在，是因为体内有一个能带拓扑非平凡的带隙；任何边上都会出现它，拿掉一个环后洞口周围的新边也一样。

保护不是万能的

容易误解拓扑边缘态不怕任何缺陷。

正确理解这里保护它的前提，是每个环里的光只朝一个方向绕。真实的环壁粗糙，会把顺时针和逆时针的光耦合起来，光就能掉头。

合成磁通不是磁场

容易误解芯片里的光子感受到了磁场。

正确理解光子不带电。两个环之间的连接环偏离中心放置，光往一个方向跳比往回跳多走一段路，多出的相位就扮演了磁通的角色。

动手实验

01
看边缘怎样导光
保持默认预设“边缘光绕过缺陷”，看回放。
你会看到： 光从输入环出发沿下边走，碰到琥珀色的缺陷就从上一排绕过去，再回到边上。约 63% 到达输出。普通环链只送到 9%，有 61% 被送回输入。
02
挪动缺陷
沿边拖动琥珀色的环，或者拖动缺陷位置滑块。
你会看到： 缺陷放在哪里，晶格都还能送到 54% 到 63%。环链一直在 9% 左右。
03
拿掉一个环
加载“拿掉一个环”。
你会看到： 边缘光沿着洞口形成的新边绕过去，62% 到达。环链被断成两截：一点光都到不了，71% 被送回。
04
绕远路
加载“另一条边缘能带：绕远路”。
你会看到： 驱动频率为正时，这一侧的边缘态朝反方向走。脉冲离开输入后背离输出，绕过另外三条边，比输入峰晚约 24 个时间单位才到，默认情况只晚 8。路更长，吸收更多，只有 32% 到达。
05
离开带隙
加载“驱动在体能带里”，再加载“没有合成磁通”。
你会看到： 在体能带里，约 30% 的光散进晶格中间，只有 18% 到达。没有磁通就根本没有带隙：35% 的光留在中间，23% 到达。
06
让每个环都偏一点
加载“随机环：晶格对比环链”，再展开数据下方的“到达时间与随机芯片”。
你会看到： 每个环的共振频率随机偏开 0.8 个耦合速率，24 块随机芯片平均下来，晶格仍能送到 52%，环链平均只有 9%。

拓扑光子边缘态

让光绕过缺陷

核心数学模型

带合成磁通的耦合环

长条晶格的能带

到达输出的光

脉冲能量去了哪里

普通环链里的缺陷

常见难点

边缘不是一条波导

保护不是万能的

合成磁通不是磁场

动手实验

看边缘怎样导光

挪动缺陷

拿掉一个环

绕远路

离开带隙

让每个环都偏一点

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