磁通晶格 / 体相

Hofstadter 晶格 · 把能带分开

转动每格磁通，看磁性晶胞扩大，再采集带展宽的能量直方图。把精确有理磁通矩阵、有限蝴蝶谱和低磁通 Landau 近似放在一起比较。

约分后磁通 $\alpha=\frac13$

采集样本 $M=0$

磁性晶胞

\alpha=\frac13

圆面积表示横向概率（逐态缩放），键颜色表示跃迁相位。纵向七排示意平面波，并非七颗测得的原子。

E/J_x=0

02 / 选择一个态

看能带分开。

当前动量处的本征态

$\alpha=p/q$ · $E/J_x$

所选动量处的直接模型概率。换一条能带会改变制备态；本征态的概率分布不随时间变化。

\text{—}

03 / 独立制备并采集

你的分辨率能分清子带吗？

仅此采集协议：均匀抽取一个动量网格点和一条能带，再以高斯噪声读出能量。直方图估计这一指定态密度，不使用上方选定的单一本征态。

尚无记录。

M_{\rm window}=0

阴影窗口统计采集的能量。可在进阶控制中移动中心，已有记录保留；空窗口不证明存在真实能隙。

M=0

\text{—}

估计只使用记录。均值误差为一个标准误差，边缘区间为逐点 95% Wilson 区间；均不包含网格误差或系统制备误差。

04 / 检查近似

网格还不是连续系统。

能带	采样最小值	采样最大值	Landau 参考

\text{—}

表格计算洁净周期体相，不含边缘势。两档嵌套动量网格核对采样带边；变化量是诊断，不是严格误差界。Landau 值仅在较小正磁通、带底附近列出，参考值不拟合采集记录。

留下一组对照

试验	能量：横向跃迁单位

展示最近十二次；CSV 包含全部记录及制备设置。最多保留六组样本，点击可恢复。

模型、约定与来源

方格晶格、每格一个轨道、无相互作用、相干。横向跃迁定能量单位，格距定长度单位。正磁通表示逆时针绕格的有向跃迁相位为正。周期晶胞大小由磁通约分后的分母决定；开放条带另设宽度。不包含无序、热库、材料校准、原子丢失或输运电极。

\begin{gathered}(E/J_x)u_m=-u_{m-1}-u_{m+1}\\-2(J_y/J_x)\cos(k_y a+2\pi\alpha m)u_m\end{gathered}

每个概率来自对应矩阵的本征矢。速度采用 Hellmann–Feynman 期望值；出现彩色边缘态不足以证明量子化 Hall 响应。

Hofstadter · 1976 Aidelsburger et al. · 2013 Tong · Quantum Hall Effect 打开配套实验

先抓重点

核心问题: 往每个格子里加多少磁通，才能让一条能带分成几条？
一句话直觉: 有理磁通约分后的分母决定磁性周期。子带可以接触，分母不是开放能隙数。

核心数学模型

Harper 矩阵

(Hu)_m=-J_x(u_{m-1}+u_{m+1})-2J_y\cos(k_ya+2\pi\alpha m)u_m

纵向平面波把方格晶格化成横向矩阵；条带省去越墙的键，并在左侧两格加入所选势。

磁性周期

\alpha=p/q,\qquad u_{m+q}=e^{i\theta_x}u_m

先约分，再确定晶胞。两格晶胞的两条连接和一格晶胞的自身连接都要累加。

低磁通参考

E_n\simeq-2(J_x+J_y)+4\pi\alpha\sqrt{J_xJ_y}(n+\tfrac12)

在小正磁通下展开带底色散；晶格曲率产生修正，这不是精确能谱。

常见难点

是哪种系统？

容易误解蝴蝶谱、条带和带噪记录是同一数据的不同画法。

正确理解图谱采样周期体相矩阵，条带具有开放墙壁；记录使用另行声明的理想制备与读出协议。

测量了什么？

容易误解彩色边缘点或直方图认证 Hall 整数。

正确理解这里展示模型能谱及能量或位置采样，不实现输运、填满能带的泵浦或 Chern 数估计。

动手实验

01
先预测再改变
比较三分之一、二分之一和零磁通，观察约分后的磁性晶胞及采样能带表。
应该观察到： 半磁通时中央子带相接。粗图谱里的空白不证明存在开放能隙。
02
采集并保存
在三分之一磁通采集能量并保存，再调差能量分辨率重测。
应该观察到： 图柱与估计来自原始记录，可导出后重算。
03
检验计算
加密动量网格，比较低磁通的前三条子带与 Landau 参考。
应该观察到： 数值采样、有限条带宽度和连续近似误差是不同效应。