拓扑物态 04 · 磁性 Bloch 能带

Hofstadter Butterfly · 磁通分形谱

直接对角化 Harper 紧束缚哈密顿量，构造能量随无量纲磁通变化的分形谱。把探针停在任意有理磁通附近，观察磁性晶胞扩大成多个子带，并用 Diophantine 方程给选定能隙标上 Hall Chern 数。

磁通分数

\alpha

$\alpha=\frac13$

磁性晶胞

q

$q=3$

能量探针

E

$0.00\,t$

能隙 Chern 数

C_r

$C_r=+1$

先抓重点

核心问题: 为什么连续改变磁通，会让一条普通能带反复裂成越来越细的子带与能隙？
一句话直觉: 当每个元胞磁通为 $\alpha=p/q$ 时，磁性平移周期扩大 $q$ 倍，原能带分裂成 $q$ 个子带；遍历所有有理数就形成自相似谱。

\psi_{n+1}+\psi_{n-1}+2\cos(2\pi\alpha n+k_y)\psi_n=E\psi_n

Peierls 相位把二维磁场问题化成带准周期在位势的一维差分方程。

\alpha=\frac{\Phi}{\Phi_0}=\frac{p}{q}

$\Phi_0=h/e$ 是单电子磁通量子；分母决定磁性晶胞大小。

r=C_rp+s_rq

第 $r$ 个能隙的整数解 $C_r$ 给出该能隙下方占据带的 Hall Chern 数。

容易误解图中的翅膀表示电子在实空间的运动形状。

正确理解横轴是磁通，纵轴是允许能量；每个点是不同哈密顿量的本征值。

容易误解增加有限矩阵尺寸后就能完整画出所有尺度的结构。

正确理解任何数值图都有尺寸和采样截断，只能逐层逼近无限晶格的自相似谱。

01
比较简单分数
依次选择 $\alpha=\frac12$ 、 $\alpha=\frac13$ 与 $\alpha=\frac25$ 。
应该观察到： 右侧磁通截面的离散子带数与分母增长同步变复杂。
02
沿能量穿过能隙
固定 $\alpha=\frac13$ 并上下移动能量探针。
应该观察到： 最近能隙的带计数改变，Diophantine 方程给出的 Chern 标签随之跳变。
03
逼近无理磁通
选择“黄金比近似”并提高 Harper 矩阵尺寸。
应该观察到： 空间本征态与局部谱变得更复杂，但有限系统仍只解析有限层级。